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杨浦新王牌 等比数列 【知识精要】 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。 通项公式：= 3、性质：1)、等比中项：； 问：①、“实数a,b,c满足”是“a,b,c成等比数列”的 必要不充分 条件； ②、“实数a,b,c满足”是“b为a、c的等比中项”的 既不充分也不必要 条件。 2）、 4、判定方法：1）、定义法：； 2）、等价定义： 5、前n项和公式：. 【热身练习】 1、在等比数列中， 54 。 2、已知数列满足 。 3、方程两根的等比中项为 。 4、三个实数成等差数列，又成等比数列，则 。 5、若成等比数列，则函数交点的个数 为 0 个。 【精解名题】 例1、若数列的通项公式为，证明：为等比数列，并指出该数列的首项与公比。 答案与提示：利用等比数列的定义进行证明。 点拔：依据等比数列的定义。 变式：1）、已知数列为等比数列，，求证：数列为等比数列。 答案与提示：利用整体思想。 2）、已知数列的递推公式为。 ①、求证：等比数列； ②、求。 答案与提示：。 例2、有四个数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数之和是16，第二个数与第三个数之和是12，求这四个数。 答案与提示：或15,9,3,1 点拔：由等差数列与等比数列概念，可设：，或，再据题意联立方程组解之。 1）、三个数成等差数列，常设为：； 若四个可设为：； 2）、三个数成等比数列，常设为：； 若四个可设为： 例3、设在等比数列6,----,768,-----,12288,----中，768是第n项，12288是第2n-4项，求此数列的公比q及n的值。 答案与提示：。利用等比数列通项公式建立方程组，求解中将转化为使问题简化。 例4、数列的前n项和为，数列中，若。 （1）、设，求证：数列是等比数列； （2）、求数列的通项公式。 答案与提示：1）、观察已知式，通过换元构造一个新的等比数列，用等比数列的知识解决问题，这是求数列通项公式的常用方法。 2）、。注意分类讨论思想的使用。 【备选例题】 例1：已知递增的等比数列满足的等差中项。 （1）、求的通项公式； （2）、若，，求使成立的n的最小值。 答案与提示：（1）、； （2）、n=5。可利用错位相减法求的值。 例2、一个等比数列的首项，它的前11项的几何平均数为，若在前11项中抽去一项后的几何平均数为，问抽去的是第几项？ 答案与提示:是第11项。由于抽去前后的几何平均数都是已知的，故可列出方程组求解。 例3、设是等差数列，公差，中的部分项组成的数列 恰成等比数列，其中。 （1）、求的值； （2）、求。 答案与提示：（1）、； （2）、。 【巩固练习】 若数列的通项公式为,则这个数列是------------（ C ） A、是等差数列，但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列 C、既是等差数列，又是等比数列 D、既不是等差数列，又不是等比数列 2、成等比数列，则x的值等于----------------------（ B ） A、0 B、 C、6 D、 3、成等差数列是成等比数列的------------------（ A ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件 4、等比数列中，，则公比q的值是 1或 。 5、等比数列中，已知 。 6、已知等差数列的公差，且成等比数列，则 = 。 7、等比数列中，，，且公比q为整数，则 512 。 8、等比数列中，已知，则此数列前17项之积等于 。 9、已知四个数-3，x，y，27前三项成等差数列，后三项成等比数列，求x，y. 答案与提示： x=3，y=9或x=，y=. 10、已知的等差数列，三数之和为9，且的等比中项，求三数。 答案与提示：。 11、已知等比数列的各项均为正数，且，求的值。 答案与提示：值为10，利用对数的性质。 12、设数列的首项，若以为系数的二次方程都有根，且满足。 （1）、求证：是等比数列； （2