序列空间几何结构直观表示.docVIP

序列空间几何结构的直观表示 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 105012005072 林洪章 指导老师 王建 【摘要】 在混沌动力学中会碰到一种奇特的空间——序列空间，即 ,其中是定值， 定义其度量为，其中，． 这是一个很难从直观上认识的空间，但是，实际上，易证是一个度量空间，并且不能等距同构于欧氏空间，在这篇文章中，我们将构造序列空间的几何结构，以便从直观上认识序列空间． 【关键字】 序列空间；几何结构；直观表示；等距同构 引言 在混沌动力学中会遇到一种奇特的度量空间——序列空间，定义如下： 定义1．1 设集合,其中是定值，，定义其度量为 ，其中，，称为序列空间． 在定义中，尽管已经很清楚的定义了序列空间中的点，以及点与点之间的距离，但是还是难以从直观上认识整个序列空间的几何结构． 为了认识序列空间的几何结构，先来考虑序列空间的有限子空间族． 定义1．2 设是一个集合，并且满足 ，, 其中，． 容易证明和都是度量空间． 对于一个给定的度量空间，对其建立一个简单的几何模型，最好的方法莫过于将这个度量空间等距嵌入欧氏空间中，比如,或者．在本篇文章的第四部分将会给出序列空间的子空间不能等距嵌入欧氏空间（为欧几里得度量），无论n的取值为多大．因此序列空间也就不能等距同构于欧氏空间． 定义1．3 在欧氏空间中定义度量 ，其中，，则称为网格度量． 设映射 其中． 在本篇文章的第四部分，将会证明映射是到的等距映射．因此映射的象就是在中的几何模型． 例如：当=2时，,在映射下的象包含两个点,如图1-1: 图1-1 ，在映射下的象包含四个点,如图1-2 图1-2 ，在映射下的象包含8个点,如图1-3 图1-3 同理当=3时， ， 在映射下的象包含27个点,如图1-4 图1-4 利用这种方法， 能很容易地建立序列空间的几何模型，然而对于中n的取值大于3的情况，这种几何模型，却不能很容易的直观表示的几何模型．同样对于序列空间而言，这种方法，就显然不适用于建立其直观的几何模型．然而，如果我们可以寻找一种方法，能再将的几何模型，“挤压”到二维或者三维的空间里面，就能获得直观的几何结构，事实上，本篇文章中，将介绍一种可以将的几何模型“挤压”到实平面中，从而获得直观的几何结构的方法． 例如：当p=2时，的几何模型如图1-3，是一个长为1个单位，宽为个单位，高为个单位的长方体，中任意两点的距离为两点之间沿着长方体的边的最短的路径的长度．接下来，按图1-5到图1-6的挤压方法即，可以将的三维几何结构，转化成二维的几何结构．  图1-5 图1-6 同样当=3时，的几何模型如图1-4，是一个长为2个单位，宽为个单位为个单位的长方体，中任意两点的距离为两点之间沿着长方体的边的最短的路径的长度．接下来，按图1-7到图1-8的挤压方法即，可以将的三维几何结构，转化成二维的几何结构． 图1-7 图1-8 利用的类似上述的转化方法，就可以将的几何结构转化到 平面内． 在这篇文章中，用类似的方法，将序列空间的几何结构转化到 平面内．在这之前，我们先看一个简单的空间模型，认识什么是几何结构的直观表示． 2． 一个简单的离散度量空间的几何结构的直观表示 为了图解，什么是几何结构的直观表示，先来认识一个简单的离散度量空间X，即． 下面将为这个离散度量空间的建立可以直观表示的几何模型． 我们所要构建的模型包含四个要素（1）点集P（点集P中的点与集合X中的点是一一对应的）（2）线段的集合S（集合S中的线段，构成集合P中任意两点之间的路径）(3)定义点集P中的任意两点存在唯一的合适路径（4）度量（用来衡量（3）中的惟一的合适路径的长度）． 根据以上的建模方法，构建离散度量空间X的几何模型． 2．1 点集P 设点集，，其中n是离散度量空间的元素个数． 例如：当n=8时，点集P的点位于半径为的圆周上，如图2-1所示 图2-1 2．2 线段的集合S 线段的集合S的线段为连接点集P中的点与圆心的线段． 例如：当n=8时，线段的集合S如图2-2所示： ， 图2-2 2．3 合适路径 定义在点集P中两点之间从一点到另一点所经过的路径中长度最短的一条路径称之为这两点之间的合适路径． 2．4度量 定义点集P的度量为构成点集P中的两点之间的合适路径的线段的长度的总和 定义了这个度量，很显然离散度量空间P等距同构于离散度量空间X． 综上所述，离散度量空间X的几何结构可以直观的表示为古代马车的木制车轮如图 图2-3 ，