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第9章 微分方程 内容提要 一.基本概念 1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量之间的关系的方程,称为微分方程. 2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶. 3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解(这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线). 4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解. 5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件. 6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解,称为微分方程的特解. 二.微分方程的类型及其解法 1.一阶微分方程 方程类型 标准形式 求解方法 变量可分离 齐次型方程 令,代入得 ,再分离变量 一阶线性微分方程 方法一:常数变易法 方法二:公式法 贝努利方程 令化为一阶线性方程 后再求解 2.高阶微分方程 (1)可降阶的高阶微分方程. 典型形式 求解方法 两边经过次积分即可 (不显含未知函数) 令 得为一阶微分方程，再求解 (不显含自变量) 令 得为一阶微分方程，再求解 (2)二阶线性微分方程的解结构 记二阶线性微分方程(1) 对应的齐次方程为(2) 若为(1)的一个特解,为(2)的两个线性无关的特解,则 为(2)的通解 为(1)的通解. 注:对于阶线性微分方程的解结构也有类似结论. (3)二阶常系数线性齐次微分方程的解法 (3) 首先写出对应于该方程的特征方程 解此方程，求出两特征值,根据的不同情形按下表写出通解. 通解 两个不相同的实根 两个相的实根 一对共轭复根 (4) 阶常系数线性齐次微分方程的解法 以上结论可推广至阶常系数线性齐次微分方程 (4) 其中为常数. 根据特征方程 的根的四种情况,分别写出对应的解： a) 为特征方程的单重实根,(4)有相应的一个解 b) 为特征方程的重实根, (4)有相应的个解 c) 为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解 d) 为特征方程的重共轭复根,(4)有相应的2个解 若记以上求出的个解为,则（4）的通解就是 (5)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 (5) 其中为常数. 方程(5)的解法:首先求出(5)对应的齐次方程(3)的通解,再求出(5)的一个特解,则(5)的通解为 而的求法如下: 当为某些特殊类型函数时,用待定系数法求. a) ,其中为常数,为的次多项式 则可设(5)的特解为(6) 其中 为与同次的多项式.将(6)代入(5)比较系数可求出,从而求出. b) 其中均为常数, 分别为次, 次多项式. 则(5)的特解可设为 (7) 其中 为次多项式, 将(7)代入(5)比较同类项系数可求出,从而求出. 复习指导： ? 9章 微分方程 学习指导 解微分方程的方法 解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解， 确定任意常数，得到特解。求通解时首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。 所学的微分方程分类如下 一 阶 微 分 方 程 变量可分离: 齐次型方程: 一阶线性微分方程: 贝努利方程: 高 阶 微 分 方 程 可降阶的高阶微分方程 (不显含未知函数) (不显含自变量) 常系数线性微分方程 常系数线性齐次微分方程 二阶常系数线性齐次微分方程 阶常系数线性齐次微分方程 常系数线性非齐次微分方程(二阶) 的情况, 其中为常数,为的次多项式 的情况, 其中均为常数, 分别为次, 次多项式. 注: 另外还有一种全微分方程，将在下册讲授. 二． 微分方程的应用题 解微分方程的应用题分两步： a) 根据具体问题建立微分方程：对于几何问题一般利用导数的几何意义列方程,对于物理问题一般根据微元法和物理定理列方程。 注: 在应用问题中常常包含有一些初试条件，在列方程时不要遗漏。 b) 解微分方程。