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教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 教学内容 函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = + …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = + …, x∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x) = cos x = + …, x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = + …, x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = + …, x∈(-1, 1]。 (6) ，α≠0是任意实数。 当是正整数m时， f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + + … + + xm ，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当不为0和正整数时， , 其中 = , (n = 1,2,…) 和。 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例1 求 在 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ， 再利用（6）式（），得到 ， 求 在 的幂级数展开。 解 ， 利用（2）式与（3）式，即得到 求 关于变量的幂级数展开。 解 令 则。利用（5）式，即得到 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例4 求 在 的幂级数展开。 解 由于，利用逐项求导，即可得到 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ，可知当x(-1,1)时， = = = 1 + + + … + + …， 对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与 = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点x = ±1的收敛性，可用Raabe判别法得到。 特别，取x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： = 1 + 。 3．对形如，的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为，收敛半径为R1，g(x) 的幂级数展开为, 收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： f (x)g(x) = ()() = , 其中cn = , 的收敛半径 min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0时，我们可以通过待定系数法求的幂级数展开：设 = , 则 () ()= , 分离x的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 c0 = , b0 c1 + b1 c0 = a1