元函数连续性.docVIP

第二章 一元函数的连续性 一基本内容第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在） 4．在区间上一致连续：，，,,当时， 总有，则称在上一致连续． 5．在点处连续的局部性质 局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质 反函数的存在连续性： 若函数在上严格单调且连续，则其反函数在以,为端 点的闭区间上也是严格单调并且连续． 有界性： 若函数在闭区间上连续，则在上有界． 取最值性 若函数在闭区间上连续，则在上能取到最大，最小值． 根的存在性 若函数在闭区间上连续，且,则，使． 界值性 设函数在闭区间上连续，介于与之间，则使得． 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续． 7．一切初等函数在其定义区间上连续 二．难点解析与重要结果 1.函数在点处连续的归结原则 任一趋于的数列{}其对应的函数值组成的数列均收敛． 【注】函数极限的归结原则中要求，这是由于与函数极限中有可能没定义，而在连续的定义中要求函数于的某邻域内有定义，在处必有定义，特别地{}即为趋于的一个数列． 2. 为的间断点的正面刻画 ，, , 满足,但有≥． 特别地,取=,则得数列{},使,但≥. 3. 函数在区间上连续 ，, ，当时， 有. 函数在区间上一致连续： , , , 当时, 有. 这两者的区别在于，对同一个，前者对于不同的，可找到不同的，既依赖于，又依赖于.事实上，对的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个，总可找到一个，该对所有的均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系 ，可看成是给定一批极限{︱}.对每个数列极限而言，对给定的,由不同的数列可找到不一定相同的，当时，有是否一致收敛.就看是否有共用的的问题. 在上一致连续可看成是给了一批函数极限{︱I}.对每一个函数的极限而言，对给定的，由不同的函数极限可找到不一定相同的.当时，有是否一致连续，就看是否有共用的的问题. 5.一致连续的判定与性质 设在有限开区间内连续，则在内一致连续的充分必要条件是与均存在且有限. 设在上连续，且存在，则在上一致连续. 设在上连续,在上一致连续，且, 则在上一致连续，此结论在有斜渐近线时很有用. 若，均在有限开区间上一致连续，则，均在上一致连续,若为无限开区间,则不一定一致连续.如，在上. 若导数在上有界，则在上一致连续. 若在与上均一致连续，则在上一致连续. 若在上一致连续，在上一致连续，则在上一致连续. 6. 在上非一致连续的肯定刻画 　,且，但有．特别地,取,则设两点列,满足,但有． 三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性 要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明． 例1．按定义证明： 在所有的无理点处连续．在中的有理点处不连续． 在上一致连续,在上非一致连续． 证明：,,. 显然当为中的无理数时，不等式成立.当时,,即. 而的正整数只有有限个，这些数为分母构成的中的有理数也仅为有限个，设为，取,则均落在之外，即当时.若为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于.此时.若为无理数则. 即当时，总有,所以.故在中的无理点处连续，有理点处不连续. ,由于 , 故可取，当且时,有,所以在上一致连续. 取,,, 显然,则 , 但, 所以在上非一致连续. [注]函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式 不同，它解的是其互补不等式. 第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函 数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. 狄立克雷函数在构造反例中的作用. 第2小题中由于=0,且在上连续，据前面的结 论即证一致连续性. 例2 设为上的单调函数，令,证明：在 上右连续. 证明：，由于,故, , 当时有. 由于在上单调，故在任一点处的左、右极限均存在， 所以，,令,有 ,即, 所以，.故在右连续,由的任意性,即在上右连续. 例3 设在上连续，存在，则在上一致连续. 证明：由于存在，故，，当时，有. 又在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.所以对上述,,当且时，有 . 取，当且时, 若,则,即,且 ,故有. 若,则，即,故有 . 即当时，总有.所以在上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧. 2．连续函数性质的证明 一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的. 例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理. 证明 设在闭区间上连续,证明在闭区间上有界. (1) 用闭区间套