下离散考试B.docVIP

判断题 （每小题2分，20%） （1）设G1是群，如果f是G1到G2的同构，那么同态像f（G1）=G2是群。 （y ） （2）设A是一代数，若B是A的子代数，且A有零元θ，那么θ也是B的零元。（ y ） （3）设A是半群，若 S是有限子集， 则S一定含有等幂元。 （ n ） （4）设G是质数阶群，任意都是G的生成元。 （ n ） （5）已知群H是群G的子群，H是G的正规子群 当且仅当 （ n ） （6）设S={1，2，3}，如果S上每个元素都是左零元， 那么S, *是半群。 （ y ） （7）在n阶群中，每个元素的阶都是n的因子。 （ y ） （8）已知集合A={a,b}，那么格 的全上界是A，全下界是(。 （ y ） （9）如果格A是有补格， 那么 A的子格也是有补格。 （ y） （10）设G是群，K是G的同态核，那么K是G的正规子群。（ y ） 填空题 （每空2分，20%） 按照下列给出的代数结构的名称，分别写出该代数系统所满足的每一条运算性质： （1）是布尔代数，请写出上运算满足的9个性质： 交换律 ， 结合律 ， 对合律 分配律 ， 吸收律 ， De. Morgan律 互补律 ， 同一律 ， 零律 (2) 设A={1,2,3,4}是集合，计算轮换积 （1，3，4）44(2，4）-15= (3,1,4,2) 2353033 选择题 （每小题4分，20%） （1）设是一剩余类环， 分别是模k的加法和模k的乘法，当k等于 b 时，是一域。 （a）　　8　　　（ｂ）　５　　 （ｃ）　６　 （ｄ）　　12 （2）指出下列 　　a　　是整环。 （a） I ,+，( （整数的加法和乘法）　　 （ｂ）　R ,+，- （实数的加法和减法） （ｃ）N9 ,+9, (9 （余数的模9加和模9乘）　　　　 　（ｄ）　 (子集的并与交) （3）设G是群，已知 是幺元，求解ｘ为　a　　。 （a）　　　（ｂ）　　（ｃ）　　　（ｄ）　 （4）设｜A｜＝4，是布尔格，求出子集A4的补元是　b　　。 　（a）A13　　　（ｂ）A11　　　 （ｃ）A6　　　　（ｄ）A2 （5）已知N15,+15 是一循环群，不含N15中生成元的选择是　b　　　　。 　（a）1，2，4，7，11，12 （ｂ）3，6 ，5 ，9，12　 　（ｃ）1，１０，１１，7，8， 　（ｄ）1，6，7，11 证明题 （每小题12分，36%） 设G是Abel群，R是二元关系, x,y(R 当且仅当 a-1x＝a-1y，a(G， 证明：R是同余关系。 解： 设G的运算为*，可省略运算符， 任取x,y,z,t(G，设x,y ,z,t( R, 要证 xz ,yt ( R , 由R的定义知 a-1x＝a-1y ，a-1z＝a-1t，a(G， a-1xz=a-1yz = a-1zy＝a-1ty， a(G， 于是证得 xz ,yt ( R。 （2）设A={1,2,3}，B3是A上所有奇置换的集合， (a) 写出B3的运算表，运算为函数的左复合运算。 （b） 说明B3不是群。 解：（a） B3 = {（1，2），（1，3），（2，3）} （1，2） （1，3） （3，2） （1，2） （1） （1，3，2） （1，2，3） （1，3） （1，2，3） （1） （1，3，2） （3，2） （1，3，2） （1，2，3） （1） (b) B3 中不含幺元，所以它不是群。 （3）设B, ∨,∧，-是布尔代数，A是B上所有原子的集合， f：B →ρ(A)是B到ρ(A) 的双射函数， s={ a| a 是x下方原子} ， s (A ，x=a1∨a2∨…∨ai ，f（x）=s， 求证：对任意x,y(B , f(x∧y) = f(x ) ∩f( y) 解： 一方面