T数列限导学中难点处理与突破.docVIP

T数列极限教学中难点的处理与突破 董希智①　　郭运瑞② （①河南省辉县市第一高级中学，辉县市453600；　②河南科技学院，新乡市453003） 摘要：在数列极限的教学中，如何引导学生从数列极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“”语言转化. 历来被认为是极限教学的重点和难点. 本文运用建构主义理论，结合自己的教学实践谈谈突破教学难点的思路和方法. 关键词：数列极限；建构主义；数学思想方法；描述性；精确性 我们知道，高等数学是用极限的理论和方法研究函数的，极限是它的武器和工具, 极限的思想方法贯穿高等数学的始末.高等数学又是一门非常重要的基础课，它是学生学习许多后续课程（如普通物理、常微分方程、复变函数等）的基础.但要学好高等数学，必须首先学好极限, 而极限概念是一个群体，各概念之间有着紧密的逻辑联系，数列极限又是极限理论的基础，因而更显得数列极限尤为重要.这就为教师提出了一个重要任务：必须尽一切努力教好数列极限这一课！ 那么，怎样教数列极限，才能使学生真正了解它的直观背景，掌握它的精神实质，理解它的思想方法，熟悉它的实际应用，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“”语言转化. 这一教学重点和难点必须从教和学两个方面突破. 建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心的学习.也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，两者相得益彰、和谐发展，为突破难点提供了有力的支撑. 建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”作为学习环境的四大要素.为突破数列极限的教学难点，笔者通过多媒体课件演示模型精心设计了“问题环境”，再通过师生之间的“会话”、“协作”，逐步完成学生的“意义建构”. 一、以模型驱动思维，引导学生认识“无限” 我们可先从《庄子.天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中，使学生初步认识“无限”.然后利用多媒体课件演示“无限”的数学模型，引导学生辩证的认识“无限”. 模型（课件演示）我国古代（公元3世纪）数学家刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”意思是：圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长与圆的周长误差就越少，正多边形的边数再增加，一直到正多边形的边不能再分割时，则正多边形的周长就是圆的周长. 首先，这句话的要点在于“割之又割”，没有“割之又割”，就没有“以至于不可割”，也就没有了“合体”之说. 因而我们说“割之又割”是一种变化过程，是一种没完没了的变化过程，即“无限”变化过程，所以“无限”实质上是一种永不停止的变化过程. 其次，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是思维上的一种认识，是思维上的一种飞跃—辩证思维. “不可割”是思维上的不可割，是思维上的一个“终结”，不是实际上的，实际上永远达不到“不可割”.有了这种思维认识就顺理成章地有了“合体”之说. 永不停止的“无限”变化过程，有时也有一个“终结”，而这个“终结”不是实质上的“终结”，而是一种变化趋势. 二、以具体数列深化思维，引导学生形成“描述性定义” 1.多媒体演示以下数列，描绘数列的图象 （1），，，…，，… （2），，，…，，… （3），，，…，，… （4），，，…，，… （多媒体课件动感表示）将这四个数列直观表示在直角坐标中，描绘出每个数列的图形(略). 2. 通过观察引出“描述性”定义 让学生观察分析数列的图形后不难发现：当项数无限增大时，数列（1）的一般项无限接近于常数0；数列（2）的一般项无限接近于常数1；数列（3）的一般项无限接近于常数1；而数列（4）的一般项在1与-1之间摆动，不趋向于某一个确定的常数. 教师：当项数无限增大时，如果数列的一般项能无限接近于一个常数，则称这个常数为数列的极限.这就是数列极限的“描述性”定义. 板书:“当项数无限增大时，无穷数列的一般项无限接近于一个常数，则称常数为数列的极限”. 三、“”精确化定义的形成和概括过程 1.在“会话”、“协作”中让学生主动构建知识 用《几何画板》考察数列（2）的图像，学生可亲自参与，用鼠标拖动图形中标注的拖动点，观察数列的一般项随变化的过程，反复实践，反复体验何谓“趋向于”.在此基础上，老师与学生进行“会话”、“协作”共同再认识“描述性”定义：“当项数无限增大时，无穷数列的一般项无限接近于一个常数，则称常数为数列的极限”.为“描述性”定义向“精确化” 定义过渡作准备.为了更简明、更清晰地展示“会话”、“协作”的过程，笔者撷取了一段课堂实录： 老师：让我们考察数列（2）的图像，当项数无限增大时，其一般项＝是否趋向于某一常数？ 几乎全体学