SAR预测控制模型.docVIP

SARS的预测控制模型 摘 要 本问题是一个关于传染病控制的数学预测模型。首先，我们对附件1的模型进行了深入的分析，认为它具有一定的合理性，但是对于预测而言，实用性却不强。为了能够达到准确预测的效果，我们建立了一个微分方程组的传染病控制模型来描述SARS传播的过程，此模型在研究了SARS传播过程的基础上，采用了差分计算的方法深入地分析了感染人数的变化规律，度量传染病蔓延的程度并对制止其蔓延的手段进行了较深入的讨论。在模型中根据政府相关控制措施来确定日治愈率，日接触率的值，预测了传染病高潮的到来时刻。此外，针对SARS对北京市接待海外旅游人数的影响，利用时间数列分析方法建立了预测模型，并且得到9-12月北京地区海外旅游人数分别为:19.6、24.5、26.7、22.6(万人)。 一、问题的重述： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，这其中有许多重要的经验和教训，特别应当认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。问题归结为对SARS 的传播建立数学模型，其具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立模型，并说明其优于附件1中模型的原因；并说明建立一个真正能够预测以及能为预防和控制需要提供哪些信息、将面临哪些困难，并对卫生部门所采取的措施做出评论。 （3）根据所提供的SARS对北京旅游业影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、对附件1的早期模型的评价： 1）附件1模型的参数说明： ：初始时刻的病例数。 ：平均每病人每天可传染人数。 ：平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限。 ：表示时间，以天数为单位。 2）附件1模型的基本假设： (1)设病人在期限后失去传染作用，其原因可能是被严格隔离、病愈不再传染或者死去等等；对于不同的疫区和疫情阶段，的值在15—25之间，为了简单把固定在20天这个值。 (2)不考虑疫情出现失控或反复的状态。 (3)将整个SARS疫情的过程分为初期、过渡期、稳定期。 初期：指从疫情开始到疫情的高峰期，此阶段，整个社会的防范程度都比较低，值相对高； 过渡期：指初期过后的10天，此时由于社会加强了宣传力度，提高了人们的防范意识，使得值逐步下降到很小。 稳定期：指疫情得到基本控制，降低到一个很小的稳定值，直到没有病例。 3）附件1模型的建立： 假定初始时刻的病例数为，平均每病人每天可传染个人(一般为小数)，平均每个病人可以直接感染他人的时间为天。则在天之内，病例数目的增长随时间(单位天)的关系是： 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期的作用后，变化将显著偏离指数率，增长速度会放慢。 4）附件1模型的求解： 为了简单起见，可以根据香港、广东及北京的非典时期的数据来进行拟合，定出对应阶段的值。从开始至到高峰期均采用同样的值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。 根据附件1模型的假设(1)(2)，采用半模拟循环计算的方法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 I 对疫情发展的初期分成两个阶段来考虑： （1）：从开始到第L天 在这一段时间之内，所有的病人都会有传染给别的正常人的能力，所以，总的病例数可以近似的看成一个指数的增长，即 （*） （2）：第L天后到高峰期 由于假设天前的病人不再有传染能力，根据半模拟循环方法在计算病例数增量的时候，则要把不会传染的人数从总人数中分开。 那么当天时,因为第一天的病人失去了传染力，所以得到的病例总数为： 同理，可以这样求出： 因为在高峰期前，由假设值是一个定值，所以，用数学归纳法可以得到： （**） 北京在3月1号发现了第一例患者，那么可以认为，对于北京来N（0）=1，且北京疫情的开始是3月1号。将代入（*），（**）式，用c语言对半模拟循环计算方法进行编程（源程序见附录1），可以很容易的得到北京从疫情开始到高峰期的这59天里每天的患者总数 （见下表） 日期 日期 患者数 （计算值） 患者数 （实际值） 日期 患者数 （计算值） 患者数 （实际值） 日期 患者数 （计算值） 患者数 （实际值） 3.2 1 -- 3.22 15 -- 4.11