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第六章 最优控制……..(侯媛彬) 要点： 1变分法与最优控制的概念 2 最大值原理 3 线性最优控制器的设计 难点： 线性最优控制器的设计 §6-1 变分法与最优控制 一、基本概念 1．泛函 变量，如果对于某一类函数中的每一个函数，都有一个确定的值与之对应，那么就称为依赖于函数的泛函，记为 或简记为。根据函数定义，泛函可理解为“函数的函数”，即泛函的值是由函数的选取而定的。例如， 是一个泛函，因为的值是由函数的选取而定的。其中函数称为泛函的宗量。 2．泛函的变分 在泛函极值问题中，泛函的变分是解决问题的一种重要方法，下面讨论泛函的变分及相关的概念。 （1）宗量的变分 泛函的宗量的变分，是指两个函数间的差，记作 （2）泛函的连续性 若对于函数的微小变化，泛函的变换也很微小，那么就说泛函是连续的。 （3）宗量函数的相近度 当函数与之差的绝对值，即 （6-1） 对于函数的定义域中的一切值均很小时，就说函数 与是相差微小或相近的。 当两个函数之差的绝对值和它们的导数之差的绝对值，即 和 （6-2） 同时很小时，就说函数 与是相差微小或相近的。 为了区别上面两种情况，把满足式（6-1）的两个函数称为具有零阶相近度，满足式（6-2）的两个函数称为具有一阶相近度，具有一阶相近度的函数必然具有零阶相近度，反之，则不一定。根据一阶相近度的概念，很容易推广，即当 （6-3） 均很小时，称函数具有K阶相近度。 （4）空间距离 定义在区间上连续函数的全体是一个函数的空间，记为，其中对应的每个函数都是这个空间的一点，定义中两点的距离为 （6-4） 若定义上连续且具有连续K阶导函数的函数的全体是一个空间，记为，定义中两点的距离为 (6-5) 显然，由式（6-4）和式（6-5）定义的距离可用来定量刻划两个函数的零阶和K阶相近度。 如果对于任意给定的一个函数，可以找到这样的一个，当时，就有 那么就说泛函在点处是连续的。当按式（6-4）或（6-5）定义时，相应称为零阶连续或K阶连续。 （5）泛函的变分 如果连续泛函的增量表达式为 （6-6） 应用泰勒公式将（6-6）在x点展开，得 （6-7） 当很小时，式（6-7）右边是关于的线性连续泛函，而其余均为的高阶无穷小。若用线性连续泛函和高阶无穷小之和表示泛函的增量，即有 （6-8） 那么，就把第一项称为泛函的变分，记为 当一泛函具有变分时，也称泛函是可微的。 泛函的变分还可以写成另一种形式，即 （6-9） （6）泛函的极值 若泛函在的邻域内，即 （6-10） 其增量 或 ，则称泛函在点处有极大值或极小值。 当距离定义为，泛函在点处达到极值，称为弱极值。 具有强极值的泛函必有弱极值，反之不然。 （7）泛函极值存在的条件 泛函在点处达到极值的必要条件是泛函在点的变分为零，即 （6-11） 二、 欧拉方程 有了§6-1的概念，可以进一步讨论如何确定函数，使泛函达到极值的问题。解决这一问题必须依赖一个重要的关系式，这一关系式称欧拉方程。 在最优控制系统中，其性能指标就是泛函J，因此用变分求解泛函极值的问题，也就是求解最优控制的过程。由于控制的多样性，其变分问题也各不相同，现分别讨论。 点固定的情况 设泛函为 （6-12） 且 （6-13） 式中，均为常数。设是满足边界条件式（6-13），使式（6-12）泛函J达到极值的最优函数。设是邻域内的一个函数，它与满足下列关系 （6-14） 式中，是一个数值很小的参数，是任一有连续导数且满足条件 的函数。这样端点固定的条件得到了保证，即 显然，不管函数如何选，当时，恒有 即获得了最优函数。 现将式（6-13）代入式（6-11），得