N维欧氏空间中开集的各种区间构造.pdf

第33卷第6期 惠州学院学报 (自然科学版) Vo1．33．No．6 2013年 12月 JOURNALOFHUIZH0UUNIVERSITY Dec．2013 N维欧氏空问中开集的各种区问构造 唐建国 (惠州学院 数学系，广东 惠州 516007) 摘 要：本文在分析 了以往开集构造定理证明的基础上，完全从开集的定义出发给出了直线上和高维欧氏空间 上开集构造定理的另一证明．如果在开集构造中不要求区间互不相交，还给 出并证明了高维欧氏空间上开集的左 开右 闲、开 区间、闭区间构造定理． 关键词：开集；区间；构造定理 中图分类号：0174．1 文献标识码：A 文章编号：1671—5934(2013)06—0037—03 1 引言 开集的定义很简单，每一个点都是内点的集合称为开集．开集是测度论中最关键的概念之一，其作用贯穿于 整个测度论及实变函数论 ，它是构造可测集的基本元素和材料，也是介于区间与可测集之间的一个概念，它架起 了连接区间与可测集之间的一个桥梁．就形状的规范性而言，区间、开集和可测集是点集中三个不同层次的概 念 ，区间最标准规范，其次是开集，再次是可测集，当然形状最差最不规则的当数不可测集，因而也最难构造．区 间、开集和可测集三者的关系可描述为：区间是构造开集基本元素，而开集则是构造可测集的基本元素．开集的 可测性由它的构造定理直接推出． 文[1—6]给出并证明了直线上开集的构造定理和R上开集的构造定理：直线上任一非空开集可表成有限 个或可数个互不相交的开区间的并； 的任一非空开集可表成可数个互不相交的左开右闭区间的并．本文尝试 给出这两个开集构造定理的另一证明．其主要思路是完全从开集的定义出发，先证明直线上的开集可表成一族 开区间的并，然后想方设法消去或合并开区间族中交叉和重叠的部分．将文[1]中 上开集的构造定理推广到 R 上开集的构造定理，先证明R 上的开集可表成一族左开右闭区间的并，然后通过对多余的区间进行删减后 ，再 对区间进行分类，详细分析其结构，达到消去左开右闭区间族中交叉和重叠部分的 目的．在证明过程中，用到了 Q是可数集以及它的任意子集是有限集或可数集的结论．此外，如果在开集构造中不要求区间互不相交，我们还 给出并证明了 上开集的两个个新的构造定理 ，开集的开区间、闭区间构造定理．由开集的开区间、闭区间构造 定理同样可直接推出开集的可测性． 2 直线上开集构造定理的另一证明 通常一族点集的个数可以是有限个、可数个或不可数个 ，一族开集的个数也是如此．现在我们要问：一族互 不相交的开集至多究竟能有多少个?是否存在不可数个互不相交的开集?我们先通过三个引理来 回答以上问题． 引理 1… 设A是由直线上两两互不相交的开区间组成的集合 ，证明A是有限集或可数集． 证明 由于任意开区间中必含有有理数 ，因此我们在A的每一个开区间中选出一个有理数作为该开区间的 代表 ，记所有这些有理数代表构成的集合为 ．又A中的开区间两两互不相交，所以选出的有理数代表两两互不 相同．这样集合A与所得的有理数代表的集合 之间建立了一个一一映射，因而A与B的基数相同．显然B是可 数的有理数集 p的子集，因而B是有限集或可数集．故A是有限集或可数集． 收稿 Et期：2013—05—10 基金项目：广东省人才引进资金项 目(A410．0204)；惠州学院科研项 目(C511．0211) 作者简介：唐建国(1965一)，男，湖南永州市人 ，教授，博士，研究方向为偏微分方程数值解等。 · 38· 惠州学院学报(自然科学版) 2013年第33卷 引理2 R 中一族互不相交的非空开集至多只有可数个，因此 中一族不可数个非空开集中必存在两个开 集的交非空． 证明 R“的任意邻域中必含有有理点．因开集的每一个点都是内点，任取其中的一个点，必存在该点的一个 邻域完全含于该开集内，在该邻域内取一个有理点作为该开集的代表．由于这一族开集互不相交，所以在每一个 开集中选出的有理点代表也互不相同．这样这一族开集的集合与有理点代表的集合之间建立了一个