非线性泛函分析报告试题与答案.docVIP

一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，，强制，Gateaux可微，Frechet可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，映射的Brouwer度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在处沿着方向的G-微分 四. 证明Poincare不等式：存在常数使得对任意，有 五. 设是有界闭集，是上的连续函数，证明积分算子 是全连续算子。 六. 设是Banach空间，连续，对固定的，关于是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常数对在有界区间上一致有界，证明：存在，使得下列初值问题在区间上有唯一解 七. 证明Gronwall不等式：设是上的实函数，其中非负且在上Lebesgue可积，在上绝对连续，在上连续，若它们满足 则 八. 证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设连续，关于是局部Lipschitz的，关于是周期的，若存在球使得时，，证明下列初值问题存在周期解 十. 设是有界闭集，是上的连续函数，并且满足下面的不等式 其中，证明下列积分方程有连续解 十一. 设定义为 证明，其中. 一. 名词解释 弱收敛: 弱*收敛: : 强制: Gateaux可微: Frechet可微: 紧映射: 正则点:临界点，正则值，临界值: 映射的Brouwer度 全连续场 全连续场的Leray-Schauder度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。（5页） 三. 求下列函数在处沿着方向的G-微分 四. 证明Poincare不等式：存在常数使得对任意，有 五. 设是有界闭集，是上的连续函数，证明积分算子 是全连续算子。(44页) 六. 设是Banach空间，连续，对固定的，关于是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常数对在有界区间上一致有界，证明：存在，使得下列初值问题在区间上有唯一解 （59页） 七. 证明Gronwall不等式：设是上的实函数，其中非负且在上Lebesgue可积，在上绝对连续，在上连续，若它们满足（61页） 则 八. 证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。（83页） 九. 设连续，关于是局部Lipschitz的，关于是周期的，若存在球使得时，，证明下列初值问题存在周期解（91页） 十. 设是有界闭集，是上的连续函数，并且满足下面的不等式 其中，证明下列积分方程有连续解 十一. 设定义为 证明，其中. (春雪给的)