量纲分析报告法建模.docVIP

§5 量 纲 分 析 法 建 模 量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化． 一、量纲齐次原则 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长 度、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母，和．于 是速度v、加速度a的量纲可以按照其定义分别用和表示，力f的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数，由 可知其量纲应从力f、距离r和质量m的量纲求出，为··=．通常，一个物理量q的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L，[m]=M，[t]=T，[v]=LT-1，[]=LT-2，[f] =LMT-2，[k]= . 对于无量纲量，我们记[]=1(因为可视为[]=)． 用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子． 单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m的小球系在长度为的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t的表达式． 在这个问题中出现的物理量有t，m，l，g，设它们之间有关系式 其中，，是待定常数，是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即 将[t]=T，[m]=M，[l]=L，[g]=LT-2代入得 按照量纲齐次原则应有 (3)的解为=0，=1/2，=-1/2，代人(1)式得 （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的． 为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作 进而假设(5)式形如 （6） 其中～是待定常数，是无量纲常数．将t，m，l，g的量纲用基本量纲L，M，T表示为,,,，则(6)的量纲表达式可写作(注意到) 即 （7） 此方程组有一个基本解 （9） 代回(6)式得 （10） 而(5)式等价于 （11） (10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式. 把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi定理． 定理 设有m个物理量， 是与量纲单位的选取无关的物理定律*,是基本量纲，n≤m． 的量纲可表为 (13) 矩阵称量纲矩阵．若A的秩 (14) 设线性齐次方程组(y是m维向量) (15) 的m-r个基本解为 (16) 则 为m-r个相互独立的无量纲量．且 与(12)式等价．F表示一个未定的函数关系． [航船的阻力] 长、吃水深度h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依赖于船的诸变量，h，v以外，还与水的参数——密度、粘性系数，以及重力加速度g有关．下面用量纲分析方法确定阻力f和这些物理量之间的关系． 我们按照Pi定理中(12)～(18)式的步骤进行． 1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f，船长l，吃水深度h，速度v，水的密度，水的粘性系数，重力加速度g，要寻求的关系式记作 2．这是一个力学问题，基本量纲选为L，M，T．上述各物理量的量纲表为 其中的量纲由基本关系得到．其中p是压强(单位面积受的力)，所以;v是流速，x是尺度，所以． 并且有n=3m=7． 3．由(20)立即可写出量纲矩阵 并且计算 (22) 4．解齐次方程 (23) 方程(23)有m-r=7—3=