有关数学学习方法.docVIP

有关数学的学习方法各科学对数学的看法 赖汉卿 最近翻阅日本《Mathematical seminare》，5 - 1979， pp.68-85，发现了非数学本科的人，报导他们对数学的看法，以及他们所用到的数学，对数学学习方法等等。我以为数学这一门为一般学生所畏惧，为现实社会所冷淡，也为一般人所不易理解数学是什么的今天，似乎可借助于这些非数学专家们，在数学领域中所获得的经验与观点，传播给读者参考，或许能收些许助益，并开拓其视野。下面大都是翻译的资料。 为物理学而学的数学 (坪井忠二(Tuboe Chuej)，东京大学名誉教授) 做为手段的数学: 进入自然科学系的人，或想进这些系的人，大概不少。因此这些人，对于数学就各有其目的，其中欲为数学本身继续研究，有志为数学家的人，也必定会有，这些人当然就以数学为目的直走，但为数并不多，大部分的人大概都不以数学本身为目的，可说只把数学当做谋求自己工作之发展的一手段而已。如同学习外国语之目的相似，那些已进入自然科学界的，以及准备想进去的，是为英语去读英语，至于英语学或英文学并不是其本身的目的，求取将来以英语写成的自然科学书籍或论文，能毫无不自由地阅读，同时自己也可用英语写些报告或论文，或能与做同方面学问之外国人交谈为目的，他们就不是以学英语本身为目的，而是当做一种手段而已。 要这么说，目的与手段似乎无太严密的区别。在学习过程中，用手段使用数学的内容，可能也会浮起兴趣来，而原以数学本身为目的的人，也可能对应用方面浮起兴趣，以致原欲做为目的的数学，及做为手段的数学都变成无法区别，而混为一体了。举个可能稍为夸大之例，如牛顿在思考万有引力时，看来是位物理学家，而在以微积分之创始者来说，那是位数学家，硬是把他分做数学家或物理学家，实际上并无多大意义。 这些我们暂且忘了它不提，只以多数人使用数学做为其手段者，来进行我们的话题。 数学表现的物理学意义: 如果说以使用数学当做手段，其道具之长处与优点，就须充分了解。因而对此道具要如何使用，就非得熟练不可。以用数学做为手段的人，读数学时是学习如何使用为其主要目的。所谓使用法，如以研究物理学的人，他就很会将物理学与数学结合在一起，于是他对于在什么范围内，有可能结合;超过了那个范围，则不可能结合，必须要有充分的了解，否则他所得的「数学」也就止于演习而已，与物理学就毫无关连了。为了要理解物理学现象，必须要能以使用数学做为手段，同时也得不忘物理学思考之发展。在物理学中，常常会出现种种数学的表现，但对于其物理意义 (physical meaning)则非时常反省不可。 说「这些结果，是由计算器算出来的，绝不可能有错误」的人是有的，计算器的数值计算即使无误，但计算器程序的想法或设计若有误，则以此错误的程序命令计算器「算算这个」，其结果当然定是错的。故不管你使用多高级的「数学」，若其用法不当，其结果也就无意义了。与之相反的，一件好象是简单的「数学」但与物理学结合得好，则会产生很深奥的结果。例如  在数学来说，那只不过是极为简单之二阶微分方程式，但它却是牛顿的壮大堂皇的学理基础。公式 f=ma  可写成更一般的形式为 y=ax  这是 x与 y的一次式。这个式子却是表示种种物理事象的关系式。比方说： a为物体运动时之定速度， x视为时间，则 y就是其移动的距雕。若 a视为利率， x为期间，则 y为此期间所得到的利息。又当 a为弹性系数时， x为微小的弯曲，则 y为此时所产生的张力 (stress)。要是 a为铁丝的线密度， x为其长度，则 y为铁丝全体的重量， …。不管 x是代表时间、期间、弯曲或线长度，上式都能成立，也就是说 x可表任何东西，说大些，这是数学所与的光荣。但在物理学中就不那样广泛，它只是 x所表示何物之问题而已。这就是以数学的数学，以手段之数学有所不同之处。 另一方面再回到  之式子来看。 d2x/dt2在 x - t坐标所画之曲线中，它不外乎表其弯曲度，即斜率之变化率而已。画出曲线时，弯度较大的，就具有较大的力量， d2x/dt2 0则其力 f为正，此时曲线是向上凹，表示力是向上的意思。这种曲线的曲率是掌握着力的大小与方向。再举个简单的例子，如数式  写成  则为并联电阻的关系式。如果写成  则为凸镜像之位置与焦点距离之式。如图，若 f与 u给定，则 v之值马上可求得，此式不外乎是直线 y=ax+b  在 x轴上取点 (u，0)，截 y轴于点 (0， v)，此时之直线方程式为  且该直线通过 x=f; y=f，因之得  又如以 Δ 之距离，去程与回程的速度分别为 v1,v2，则全部的平均速度为 V 时，其间的关系式为  总之  是一个数式，这个式子可表示电阻之式，镜像之式，速