高等代数第七章 3第三节 线性变换的矩阵 太原理工大学.pptVIP

* 第三节 线性变换的矩阵 上页 下页 返回 一、线性变换关于基的矩阵 设V是数域P上n维线性空间. ε1,ε2,…,εn是V的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V中任意一个向量ξ可以被基ε1,ε2,…,εn线性表出，即有关系式 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. ξ=x1ε1+x2ε2+…+xnεn (1) 上页 下页 返回 由于线性变换保持线性关系不变，因而ξ的像Aξ与基的像Aε1,Aε2,…,Aεn之间也必然有相同的关系： Aξ=A (x1ε1+x2ε2+…+xnεn) =x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn (2) 上式表明，如果知道了基ε1,ε2,…,εn的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 上页 下页 返回 1. 设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即 Aεi=Bεi, i=1,2, …,n 那么A=B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定. 下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说， 证明 A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此就是要证明对任一向量ξ，等式Aξ=Bξ成立. 而由(2)及假设，即得 Aξ =x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn =x1Bε1+x2Bε2+…+xnBεn=Bξ. 证毕. 上页 下页 返回 2. 设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，对于任意一组向量α1,α2,…,αn一定有一个线性变换A使 Aεi=αi, i=1,2, …,n (3) 证明 我们来作出所要的线性变换. 设 ξ =x1ε1+x2ε2+…+xnεn 是线性空间V的任意一个向量，我们定义V的变换A为 下面来证明变换A是线性的. 在V中任取两个向量， β=b1ε1+b2ε2+…+bnεn， γ=c1ε1+c2ε2+…+cnεn . Aξ =x1α1+x2α2+…+xnαn (4) 上页 下页 返回 于是 A(kβ)=kb1α1+kb2α2+…+kbnαn 按所定义的A的表达式(4)，有 因此，A是线性变换. β+γ=(b1+c1)ε1+(b2+c2) ε2+…+(bn+cn) εn， kβ=kb1ε1+kb2ε2+…+kbnεn， k∈P. A(β+γ)=(b1+c1)α1+(b2+c2)α2+…+(bn+cn)αn =(b1α1+b2α2+…+bnαn)+(c1α1+c2α2+…+cnαn) =Aβ+Aγ ， =k(b1α1+b2α2+…+bnαn)=kAβ . 上页 下页 返回 再来证满足(3)式. 因为 所以有 综合以上两点，得 εi=0ε1+…+0εi-1+1εi+0εi+1+…+0εn , i=1,2, …,n， Aεi=0α1+…+0αi-1+1αi+0αi+1+…+0αn=αi , i=1,2, …,n . 证毕. 定理1 设向量组ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，α1,α2,…,αn 是V中任意n个向量. 则存在唯一的线性变换A使 Aεi=αi, i=1,2, …,n 上页 下页 返回 定义2 设ε1,ε2,…,εn是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： 有了以上的讨论，我们就可以来