微积分：空间解几与向量代数.pptVIP

第三节 平面及其方程 一、 平面的点法式方程 垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量. 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0 x-2y+3z-8=0. 求过点(2, -3, 0)及法向量 =(1, -2, 3)的平面方程. 例 解 二、平面的一般方程 因为平面过原点, 所以将x=y=z=0代入平面的一般 方程, 得D=0, 故过原点的平面方程为 Ax+By+Cz=0 (1)过原点的平面方程 (2)平行于坐标轴的平面方程 如果平行于x轴,则平面的法向量 =(A,B,C)与x轴的单位向量 =(1,0,0)垂直,故 ,即 A?1+B?0+C?0=0 所以A=0.由此得平行于x轴的平面方程为 By+Cz+D=0 类似有: 平行于y轴的平面方程为 Ax+Cz+D=0 平行于z轴的平面方程为 Ax+By+D=0 因为过坐标轴的方程必过原点,且与该坐标轴平行, 所以可得过x轴的平面方程为: By+Cz=0 类似地 过y轴的平面方程为：Ax+Cz=0 过z轴的平面方程为：Ax+By=0 (3)过坐标轴的平面方程 如果平面垂直于z 轴,则法向量可以取与z平行的任一组非零向量(0,0,C),则平面方程为 Cz+D=0. 类似有 垂直于x轴的平面方程为 Ax+D=0 垂直于y轴的平面方程为 By+D=0 (4)垂直于坐标轴的平面方程 例 解 指出下列平面的位置特点，并作出图形: (1) x+y=4; (2) z=2. (1) 式中不含z, 所以平面平行于z 轴. (2) z=2表示过点(0, 0, 2)且垂直于z轴的平面 例 解 三、 两平面的夹角 两平面垂直的条件是: 例 解 第四节 空间直线及其方程 一、 空间直线的一般方程 二、 空间直线的点向式方程和参数方程 与已知直线平行的非零向量叫做这个直线的 方向向量. 从而有: 叫做直线的点向式方程或对称式方程. 例 解 例 解 三、 两直线的夹角 两直线相互垂直的充要条件是 两直线相互平行的充要条件是 例 解 四、 直线与平面的夹角 直线L与它在平面?上的投影所成的角称为直线L与平面? 的夹角. 直线与平面相互垂直的充要条件是： 直线与平面相互平行的充要条件是： 例 解 该公式称为点到平面的距离公式. 第五节 空间曲面与空间曲线 一、 空间曲面及曲面方程的概念 如果曲面S与三元方程存在如下关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0. (2)不在曲面S上的点不满足方程. 那么F(x, y, z)=0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程的图形. 例 解 返回 上页 下页 第一节 空间直角坐标系 一、 空间直角坐标系及点的坐标 过空间一点O做三条互相垂直的数轴, 它们都以O为原点, 这三条坐标轴分别叫做x轴、y轴、z轴,统称坐标轴。 它们的正方向按右手法则确定。 三条坐标轴组成了空间直角坐标系Oxyz, 点O叫做坐标原点。 1.空间直角坐标系的建立 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面, 这样的三个平面统称为坐标面. 其中x轴和y轴, z轴和y轴, x轴和z轴组成的平面分别称为xoy面, zoy面, xoz面。 这三个面把空间分成八个卦限, 按逆时针方向分别叫做I, II, III, IV卦限,下半空间(z0)分别叫做V, VI, VII, VIII卦限。 2.空间中点的直角坐标 设点M为空间一点, 过M分别作三个坐标轴的垂面, 它们与x轴, y轴, z轴的交点分别为P, Q, R. 这三点, 在x轴, y轴, z轴上的坐标分别为x, y, z. 这样就唯一确定了一个有序实数组(x, y, z), 它称为M的直角坐标. 并依次把x, y, z叫做横坐标, 纵坐标, 竖坐标. 这样就建立了点M与有序实数(x, y, z)的一一对应关系。 二、空间两点间的距离 第二节 向量代数 一、向量的概念 在数学中常用带方向的线段来表示向量. 具有大小和方向的量叫向量或矢量。 如速度, 力, 加速度等。 向量的大小叫向量的模。 向量 的模记为 自由向量:与起点无关的向量叫作自由向量