立体表面的点和线.docVIP

(二)平面立体上点、线、面的投影 求作平面立体表面上点(或线)的投影，实质上就是在平面上取点作线的问题。由于平 面立体的棱面皆是平面多边形，因此，在具体作图时，把立体各棱面看成相对独立的平面， 就可应用第二章第四节中求取平面中点、线的投影的方法解题。这其实就是问题简化的过 程——将求取立体表面点的投影转化为求取平面上点的投影，然后再继续转化为求取直线上点的投影的问题 但由于平面立体的各棱面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产 生可见与不可见的问题，因此，对处于不同表面上点(或线)的投影，还要进行可见性的判 定，并对其投影进行标示。 【例4-l】 已知三棱柱的三面投影及其表面上的点M和点N的V面投影m’和n’，请补全点M和点N的投影(图4-4)。 分析：根据已知条件，M点必在三棱柱右前侧的棱面上(因m’可见)，而N点必在三 棱柱的后倾棱面上(因n’不可见)。 作法如下。 (1)由于棱柱各棱面的H面投影具有聚积性，所以点M与点N的H面投影一定落在 对应棱面的聚积投影上，分别经过点“m’和点n’向下作铅垂线，与棱面聚积投影的交点就是 两点的H面投影m和n。 (2)按投影规律求出这两点的侧面投影m”和n”。 如图4-4(b)所示，在求取点M的w面投影时，可以不借助45。线，而是通过量取点的相时距离的方法求解。 【例4—2】 已知五棱锥的两面投影及其表面上折线MKN的V面投影[图4-5(a)]，补 全五棱锥及折线的投影。 分析：根据题中所给出的投影可知：点M和点N分别位于五棱锥的SAB和SBC棱面 上，这两个棱面都足一般位置的半面，就需要在棱锥的棱面上作出过已知点的辅助线，然后 再求出辅助线上该点的投影，也就是一般位置平面上定点的方法。 作法如下。 (1)补全五棱锥的投影[图4-5(b)]。本例题中仍然运用量取距离差的方法确定五棱 锥各顶点的投影。选定点s为基准点，定出点s”的位置，然后在H面中量取各顶点的H面 投影相对于点s的前后距离差(OY轴上的距离差)，按照各顶点相对于点s的位置确定各 点的W面投影。在W面中侧面SAB将侧面SBC遮挡住，侧面SAE侧面SCD遮挡住， 这两组侧面的投影重合；侧面ADE足一个侧垂面，在W面中聚积成一条直线。 (2)利用过K点且平行于底边的直线为辅助线求点K的投影[图4—5(c)]。 ①点K在侧棱SB上，根据点的投影特征，作出点K的W面投影k”。 ②在V面中，经过点k作底边投影b’c’的平行线，与s’c’交于点1’。 ③作出点l的H面投影点l，经过点1作bc的平行线，与sb的交点就是点K的H面 投影k。 (3)利用直线的延长线补全点M的投影[图4—5(c)]。 ①延长k’m’，与侧棱投影s’a’交于点2’。 ②作出直线KⅡ的H面投影和W面投影，根据直线上点的投影求取方法求出点M的 其它投影。 ， 这种方法似曾相识，其实在[例2—9]中求平面内直线MN的投影就采用了这种 方法，如果还是看不明白，你可以将侧面sAB和直线KM的投影提取出来，单独考虑。 (4)利用经过棱顶的直线求点N的投影[图4—5(c)]。 ①连接sn’，并延长，与底棱b，c，‘交于点3’。 ②作出直线SⅢ的H面投影，经过点n’向下作铅垂线与s3的交点即点N的H面投影n。 ③利用量取相对距离差的方法，可以求出点N的W面投影n’。 (5)连线，判断可见性。在H面中各个侧面都是可见，在侧面SAB和sBC上直线 MK和KN的投影也都是可见的。在W面中由于侧面SBC被SAB所遮挡，所以直线KN， 是不可见的，所以kn”应该为虚线[图4—5(c)]。 (二)曲面立体上点、线的投影 由于曲面立体是由平面与曲面组成的，所以其上的点或线可能位于平面上，也可能位于 曲面之上。平面上的点、线投影的求取比较简单，前面已经做了介绍，曲面上的点、线投影 的求取就需要结合曲面的特征加以分析研究。 与回转面相同，回转体也就可以利用素线法或者纬圆法求取曲面上的点、线的投影。下面通过例题介绍曲面立体上点、线投影的求取方法。 已知圆锥的三面投影以及圆锥上一点K的V面投影[图4—7(a)]，根据已知 条件补全点的投影。 图4—7(b)对应的是素线法，图4—7(c)对应的是纬圆法，具体作法参照曲面上点、 线投影的求作方法。需要注意的是绘制出点的投影之后，不要忘记判定点的投影的可见性。 例如图中点K的W面投影k”是不可见的。 【例4-4】 已知球体的投影及其上一条曲线的V面投影，补全曲线的投影。 分析：如图4—8 Ca)所示，曲线所在的平面垂直于V面，在V面聚积成一条直线，曲 线最低和最高点分别为点A和点B，这两