复变函数工科第一讲.ppt

课程简介 课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(第四版) 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复数与复变函数、解析函数、复变 函数级数、留数等。 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。比如： 准备知识与参考书目 2、参考书目 本册书主要内容 第一章、复数及复变函数 第二章、解析函数 第三章、复变函数的积分 第四章、级数 第五章、留数 第一章 复数与复变函数 * 一、复平面 1. 复平面的定义 * 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 * 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. o x y (z) P(x,y) x y ? * 辐角主值的定义: * 4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. * 5. 复数和差的模的性质 * 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 6.复数的三角表示和指数表示 * 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解： 故三角表示式为 解题步骤： 1、求出复数的模 r 2、求出辐角主值θ 指数表示式为 * 故三角表示式为 指数表示式为 * 例2 解 (三角式) (指数式) * 例3 证 * 两边同时开方得 * 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. * 例5 求下列方程所表示的曲线: 解 * 化简后得 * 二、复球面 1. 南极、北极的定义 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作?. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大?的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 * 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. * * 三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈． * 思考题 是否任意复数都有辐角? * 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. 作业： 注：作业本不要对折 章 第一讲 2012年.秋学期 1）负数不能开偶数次方； 2）负数没有对数； 3）正、余弦函数的绝对值不能超过1 ； …… 等在复变函数中已经不复存在. 1、准备知识 复数与多元函数知识 广义积分与曲线积分 微积分与级数知识 ①《复变函数论》 （第二版）钟玉泉 高等教育出版社 ②《复变函数教程》 朱静杭 高等教育出版社 ④《复变函数》郭洪芝等 天津大学出版社 ③ 《复变函数》（第四版）西安交通大学 高等教育出版社 ⑤《复变函数典型习题》龚东保 西安交通出版社 ⑥《复变函数》李庆忠 科学出版社 复数的起源与发展: 复数的产生和发展是数学史中的奇特一章。它不是按现在教科书中所描述的逻辑顺序建立起来的， 而是从求解方程的实践过程中产生的。“ 复数” 术语由高斯于 1 8 3 1年首次给出， 在这以前它被称为 “ 虚数” 或“ 不可能的数”. “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）1637年在《几何学》中首创的. “虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣. 十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能