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等式证明方法探究 雷红 数学与信息学院数学与应用数学专业2007级 指导老师：何鹏光 摘 要：本文探讨了构造法、导数法、函数法以及柯西不等式在不等式证明中的应用。通过例题进行分析，解答，评注等使读者初步了解不等式证明的几种不同方法和技巧，在不同情境下选取恰当的方法可以使不等式证明快洁，有效。 关键词：不等式证明； 导数法; 构造法; 函数法 ；柯西不等式 Inequality approach exploration Lei hong Mathematics And Information Science Mathematics And Applied Mathematics Grade 2007 Instructor:he peng guang Abstract: This article discusses the construction method, derivative, function, and Cauchy inequality in the application of Inequality. Through analysis of examples, answers, commentary and other inequalities the reader a preliminary understanding of several different methods and techniques, In different situations can select the appropriate method of inequalities quick clean and effective. Key words:Inequality proof; Derivative method; Constrcuction method; Function; Cauchy inequality 朗读 显示对应的拉丁字符的拼音 朗读 显示对应的拉丁字符的拼音 朗读 显示对应的拉丁字符的拼音 ? 字典 - 查看字典详细内容 k 不等式在高中教学中有着举足轻重的作用，不管是在高考还是各类数学竞赛中关于不等式的证明题目层出不穷。但是不等式的证明方法却灵活多变，除了比较传统的数学归纳法、分析与综合法、反正法、均值不等式法、放缩法外，还有许多的技巧和方法。本文就构造法，导数法，函数法以及高等数学中的柯西不等式法这四种不同的方法来论述不等式的证明。通过对这几种方法的探究使读者初步了解不等式证明的灵活性，使读者能够建立新课标下的解题思维。不等式证明引入导数法使相应的数学方法、数学工具、数学语言更加丰富，应用形式更加多变。而构造法则锻炼了读者的思维，开阔学生视野，使读者感受在构造过程中隐性和显性变量之间存在的不等关系。函数法的应用使读者进一步感受函数的应用 广泛性，使读者能够实时的，恰当的运用函数工具。柯西不等式法是对高中不等式证明的一个延伸，使读者感受运用大学知识解答中学知识的快捷性，激发读者对不断学习数学的兴趣。 1 构造法证明不等式 1.1 形式类比，构造图形 如果不等式证明的形式中有比较明显的几何意义，或者说可以以某种方法和几何图形建立联系，我们就可以从数形结合，数形转化的观点出发，来构造几何图形，通过几何图形的直观性来获解。 例1：求证下面不等式： 分析：从不等式的形式出发，左端的四个式子可以看做是两点间的距离公式 证明：设M（x,y） A(0,1) B(1,1) C(0,0) D(1,0). 则正方形ABDC的边长为1,其中M是正方形ABDC内的一点 故原不等式成立 1.2 形式类比，构造等式 等式可以看做是最特殊的不等式，添加或减少不等式中的 的某些项可以将不等式转换成等式，从而找到解题的突破口。 例2：已知 ，求证： 证明：由,得 从而有 又 所以 即 故而 又因为，所以 1.3 洞察联系，构造方程 形如（或）形式的这类不等式，我们先将不等式变形为： 4，然后构造一个二次函数=A2-(2B)+C, 再证明其判别式 例3：设且满足，求证： 证明：当 时，原不等式成立 当 时，构造二次函数 这是一个开口向下的抛物线， 又因为 因此，抛物线的图像与轴一定有交点，从而 故 总结：通过观察题目结构，构造二次函数，在利用二次函数的性质来解决不等式 1.4 整体观察，局部构造 有些不等式的证明若从整体上考虑很难找到突破口，但如果从局部入手构造若干个结构相同的不等式，逐一证明，再利用不等式同向相加的性质，使得不等式得以证明. 例4： 证明：观察题目中的式子发现他们具有对称性，且只有当时，等号才成立，因此构造局