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江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 关于积分不等式的几种证明方法 On Several Methods Of Integral Inequality Proof 姓 名： 学 号： 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2009年04月12日 关于积分不等式的几种证明方法 【摘要】积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，积分不等式的形式各异，所以其证明方法也多种多样.积分不等式包括定积分不等式和重积分不等式.本文主要研究了定积分不等式的几种证明方法，如：利用最大最小值法，利用函数的单调性，利用中值定理，泰勒公式法，定义法，凸函数法等.并且针对每种证明方法采用一定的例题来总结它们各自的证明思路以及解题技巧.本文还介绍了采用重积分的估值定理来证明重积分不等式. 【关键词】积分不等式 定积分 重积分 中值定理 On Several Methods Of Integral Inequality Proof 【Abstract】 Integral inequality is one important inequality in the study of calculus, and the form of inequality is various, so the proven methods are various. Integral inequality include the integral inequality and re-integral inequality. This paper mainly study on several methods of the definite integral inequality proof, such as using the maximum and minimum to prove, using the monotonicity of function, using mean value theorem, using Taylors formula, using the definition, using convex function. And prove that for each method used to sum up some sample questions proof of their ideas and problem-solving skills. This article also describes the use of re-valuation of integral theorem to prove that multiple integral inequality. 【Key Words】 Integral inequality Definite integral Multiple integral The theorem of median 目录 1 引言……………………………………………………………………………1 2 定积分不等式的证明方法………………………………………………………1 2.1 最大最小值法………………………………………………………………1 2.2 利用函数的单调性定理………………………………………………………2 2.3 利用中值定理………………………………………………………………4 2.3.1 利用积分中值定理……………………………………………………4 2.3.2 利用微分中值定理……………………………………………………4 2.3.3 利用柯西中值定理……………………………………………………5 2.4 变量变换法…………………………………………………………………6 2.5 Newton-Leibniz公式法……………………………………………………7 2.6泰勒公式法………………………………………………………………7 2.7二重积分法…………………………………………………………8 2.8定积分的定义法…………………………………………………………10 2.9判别式法………………………………………………………………10 2.10 应用柯西积分不等式…………………………………………………11 2.11 利用函数的凸性……………………………………………………………12 3 重积分不等式的证明方法……………………………………………………12 4 小结………………………………………………………………………………13 参