数系的扩充与复数概念.pptVIP

3．1　数系的扩充和复数的概念 3.1.1　数系的扩充和复数的概念 1．了解数系的扩充过程． 2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法． [问题1]　方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？ [问题2]　方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2]　没有解． [问题3]　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ [提示3]　有解，x＝i但不是实数范围内． [问题4]　实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？ [提示4]　C＝{a＋bi|a，b∈R}． 1．复数的定义：形如__________的数叫做复数．其中i叫做__________，满足：i2＝_______. 2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即__________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________． 1．复数的分类： 2．集合表示： 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?___________. 1．理解复数与复数集的概念时应注意以下几点 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数． 若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小． 1．复数i－i2的虚部为(　　) A．0 B．1 C．i D．－2 解析：　i－i2＝1＋i. 答案：　B 2．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有(　　) A．C＝R∩I B．R∩I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝? 解析：　由复数的概念可知R?C，I?C，R∩I＝?. 答案：　D 3．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________． 答案：　2 4．如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值． 下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①复数－3i＋5的实部是－3，虚部是5； ②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0　 　　 B．1 C．2　　 　 D．3 [思路点拨]　本题主要考查复数的基本概念及分类，解题时要注意a＋bi中，a，b的取值为实数． 解析：　①－3i＋5＝5－3i，∴－3i＋5的实部是5，虚部是－3，①是假命题．②由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 故选A. 答案：　A 　 在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件．利用举反例的形式否定一个命题是很有效的方法． 1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是(　　) A．a＝0 B．a＝0且b≠0 C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0 解析：　由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由“且”字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选择项的情况，故选A. 答案：　A [思路点拨]　 复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当满足①b＝0时复数z是实数，②b≠0时复数z是虚数，③a＝0，b≠0时复数z是纯虚数．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是否有意义． 特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义． [思路点拨]　确定实部与虚部，列方程组求解． 　1.一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小． 2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带． 3．必须在标准代数形式下确定实部、虚部后才可应用． 3．(1)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________. (2)已知x