数学物理方法 课本答案第五章 Bessel 函数.docVIP

第五章 Bessel 函数 5．2 基础训练 5.2.1例题分析 例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量： （1） 解 先把时间变量分离出来，令，代入方程（1） 两边同乘以并移项得 上式左边仅是的函数；右边是,的函数。若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为，则有 (2) (3) （3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为： 进一步分离变量，令，代入上式得 两边同乘以，并整理得 同上讨论，等式两边应为同一常数，记为，则有 (4) (5) 对（5）式作代数变换后变为贝塞尔方程 (6) 其通解是 其中为第一类和第二类Bessel函数。 由周期条件，方程（4）的解为 由波动问题及解在有限的条件，方程（2）的解为 例2 用的级数表达式证明： （1） ； （2） 证明：（1） 因为， 所以 （2） 例3 利用Bessel函数的递推公式： (1) 将用及表出； (2) 证明 . (3) 证明 . (4) 证明 . (5) 证明 . (1) 解 由 得 (2) 证明：由得 (3) 证明： 由,得 即 (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得： (5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得： 例4 计算。 解 令，得 例5 在第一类齐次边界条件下，把定义在上的函数 按零阶Bessel函数展开成级数． 解：由Bessel函数的完备性，有 其中的模方，因为属于第一类齐次边界条件 由零阶Bessel函数的零点确定本征值 按公式(5.25)，有 为求表达式中的积分，先计算以下不定积分 （1） （2） 下面利用Bessel函数的降阶公式以简化结果，可得 （3） 利用(1)，(3)两式，就可求出表达式中的积分 （4） 于是有 即 例6 求解下列定解问题： 解：令代入原方程，得 （1） （2） （1）式的通解为 （2）式的通解为： 因为，故。 由边界条件得到： ，即。 由此得到本征值为，本征函数为。 故问题的一般解为： 叠加得到： 由初始条件代入得到： 故有 又由 ，有 将代入得到原定解问题的解为： 例7 若例6方程换成非齐次的，即 而所有定解条件均为零，试求其解。 解：这时定解问题化为 由于方程为非齐次方程，方程的自由项及边界条件与