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拉普拉斯算子 在数学和物理中，拉普拉斯算子或拉普拉斯算符（Laplace operator， Laplacian）是一个微分算子，通常写成△或▽2；拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。 定义 拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为： （1） f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数： （2） 作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。 函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹： 坐标表示式 二维空间 其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为： 三维空间 笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法 N维空间 在参数方程为x=rθ∈RN（其中r∈[0,+∞)以及θ∈SN-1）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为： 其中△SN-1是N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。 恒等式 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,ϕ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向矢量，而角函数的梯度与径向矢量相切，因此： 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： 因此 推广 复杂空间上的实值函数 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子： 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子 c 是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果 x 方向用寸来衡量，y 方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。 值域为复杂空间 矢量值函数的拉普拉斯算子 拉普拉斯算子作用在矢量值函数上，其结果被定义为一个矢量，这个矢量的各个分量分别为矢量值函数各个分量的拉普拉斯，即 更一般地，对没有坐标的矢量，我们用下面的方式定义（受矢量恒等式的启发）： 也可用类似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定义，然后证明“旋度的旋度”矢量恒等式． 拉普拉斯－贝尔特拉米算子 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。