哈密顿原理-DotRunningcom.PPTVIP

* §5.7 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。 如图所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。 设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运动速度为 质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间 （1） 显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为 δJ = 0 （2） 算符δ称为变分记号。 变分运算法则和微分运算法则相似： （3） （2）变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件： 为普遍起见，将（7.6）式改写 （4） 对上式求变分，令δJ=0： 因此， （5） （7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？ （3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 和 体系位于位形空间的 点和 点，相应的广义坐标为 和 （或缩写为 和 ）， 由 点通向和 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 ？ 哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。 · 定义： 体系的拉格朗日函数在 内的积分 （6） 为哈密顿作用量（或主函数），是 的泛函数。 · 哈密顿原理 1843年哈密顿提出：对于一个保守系 的完整力学体系，其由动力学规律所决定 的真实运动轨道可由泛函数 取极值的条件 （7） 给出——哈密顿原理。 对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为 （8） 式中 为广义力。 由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。 7.3 正则变换 （1） 选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。 （2）正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。 设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为 （7.14） 如果变换后，新的哈密顿函数 仍然满足正则方程 （7.15） 满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。 满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是： （7.16） 式中F为正则变换母函数。 由（7.16）式可得 （7.17） （7.18） 以上二式表明：由 时， 可任意规定； 规定后， 则 由 规定，F由 来选取， 由 来确定。 （3）四种不同类型的正则变换 （7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。 ① 第一类正则变换 （7.19） ② 第二类正则变换 ③ 第二类正则变换 ④ 第二类正则变换 （4）正则变换的关键 若变换后新哈密顿函数只是变量 及t的函数，即 则由（7.15）式知 =常数 ∴ 可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环