周波数伝达関数とボード线図.PPTVIP

第6章：　周波数応答：周波数伝達関数とボード線図 周波数伝達関数 ボード線図 TUT, System Control laboratory 1/16 今週の授業の目的 今週の大きな目的 　　周波数伝達関数，ボード線図について学ぶ．周波数伝達関数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力を求めることができる．ボード線図は制御系を設計する際に利用する．今週の授業内容は，制御系の応答を確認する際や制御系を設計する際に重要なものである． 周波数伝達関数を学ぶ ボード線図の概念を学ぶ 積分要素のボード線図を学ぶ 微分要素のボード線図を学ぶ １次遅れ要素のボード線図を学ぶ ２次遅れ要素のボード線図を学ぶ むだ時間要素のボード線図を学ぶ 2/16 TUT, System Control laboratory 周波数伝達関数（１） 伝達関数G(s)で表される安定なシステムに，周波数w0の正弦波入力 を加えると，十分長い時間がたった後，すなわち，定常状態において出力は， となる．このように，出力は入力と同じ周波数w0をもつ正弦波になる．ただし，その振幅は|G(jw0)|倍され，位相は∠G(jw0)だけ遅れる．|G(jw0)|を周波数w0におけるゲイン，∠G(jw0)を位相角と呼ぶ． w0をさまざまな値に変化させたときの入力u(t)と，出力y(t)の伝達関数G(s) (0w∞)を周波数伝達関数，あるいは周波数応答と呼ぶ．これは伝達関数G(s)においてs=jwとおいて得られるものである．|G(jw)|をゲイン特性，∠G(jw)を位相特性と呼ぶ． TUT, System Control laboratory 3/16 周波数伝達関数（２） 例１：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは0.5，位相角は0degの出力波形 4/16 例２：周波数1Hzの正弦波入力で，ゲインは１，位相角は180degの出力波形 TUT, System Control laboratory u(t) y(t) u(t) y(t) t t 位相角0[deg] 位相角180[deg] ゲイン：１ ゲイン：0.5 例１ 例２ 周波数伝達関数（３） ここで入力u(t)から出力y(t)を導出しておく．入力u(t)，出力y(t)のラプラス変換をそれぞれU(s)，Y(s)とおく．定常状態を考えると， TUT, System Control laboratory 5/16 が得られる．ただし， である． 周波数伝達関数（４） G(jw0)とG(-jw0)が，互いに共役な複素数であることに注意すれば， TUT, System Control laboratory 6/16 となる． 周波数伝達関数（５） 逆ラプラス変換すれば， TUT, System Control laboratory 7/16 ここで下記の公式を用いると，出力y(t)が得られる． ただし，以下の関係を用いる． 周波数伝達関数（６） 例：1+s s=jwと代入したとき，実部と虚部は，Re[G(jw)]=1，Im[G(jw)]=wとなる．このとき，先の公式から， 8/16 の関係を得る． w=0.01のとき w=1のとき w=10のとき 定常状態の出力は，このように明らかにできる．また，これらの関係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び，続けて説明する． TUT, System Control laboratory ボード線図 周波数伝達関数G(jw)のゲイン特性|G(jw)|と位相特性∠G(jw)を，周波数wの関数として別々のグラフに図示したものをボード線図という．横軸に角周波数wを対数目盛でとり，縦軸にゲインの対数量g(w)=20log10|G(jw)| dBで表わしたものをゲイン曲線，また，別のグラフに縦軸に位相角をf(w)=∠G(jw) degとして表わしたものを位相曲線と呼ぶ．ボード線図は，広い範囲で詳細な特性を表わすことができることから，フィードバック制御系の解析や設計において広く用いられている． 積分要素，微分要素，１次遅れ要素，２次遅れ要素，むだ時間要素のゲイン特性と位相特性の式，ボード線図を説明する．また，次回予定でボード線図の折線近似，１次遅れ要素，２次遅れ要素のパラメータによるボード線図の違いや応答の違いを紹介する． TUT, System Control laboratory 9/16 ボード線図（積分要素） 積分要素G(s)=1/sに対してs=jwとおくことで，周波数伝達関数は， TUT, System Control laboratory 10/16 となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる． -20dB/dec -90[deg] つまり，ゲインはw=1の