特殊行列式的计算 guotao.docVIP

特殊行列式的计算 摘 要： 运用行列式的定理、性质及推论对一些复杂、特殊行列式进行化简，总结出了一些特殊行列式的计算方法及公式，改变了以往遇到行列式总是通过初等变化按其某行（或某列）展开进行逐次降阶化成阶梯型行列式或依据Laplace定理进行行列式计算的方法；使行列式的计算更为简洁、灵活，并使得特殊行列式的计算公式化. 关键词： 行列式；行列式的计算；特殊可列阶行列式 1 预备知识 面对一些复杂而又特殊行列式的计算我们往往会不知所措、无从下手，更不知道应该用什么方法去进行化简或计算，就像一只无头的苍蝇只能用各种方法去进行试探.为此我们多么希望一些特殊的可列阶行列式的计算能像一元二次方程一般有其计算公式和特殊的化简方法，从而提高特殊、复杂的行列式的计算效率，简化其计算步骤，改变其算法的冗长性，使之公式化、方法化.现就有关知识做以预习. 定理1.1（Laplace定理） 设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式. 性质1.1 行列式与其转置行列式相等. 性质1.2 交换行列式的某两行（或某两列）行列式改变符号. 性质1.3 把行列式某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数，等于以乘以该行列式. 性质1.4 把行列式的某一行（或某一列）的所有元素乘以同一个数后加到另一行或另一列的对应元素上行列式值不变. 性质1.5 如果行列式中有两行（或两列）元素相同,行列式值为0. 性质1.6 行列式中某一行（或某一列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外边. 性质1.7 行列式中如果有一行(或一列)的元素全为零,则行列式为0. 性质1.8 如果行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例,则行列式等于0. 引理1.1 行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的项，而且符号也一致. 2 特殊行列式的计算 2.1 二条线型行列式的计算 定义2.1.1 形如=（或=）的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出 例2.1.1 列式=和=的值. 解 观察行列式=和=可知它是二线型行列式，且由定义知其中全为0.故代入公式可得出 类似的二条线型行列式还有,,和（其中定义中给出的的二线型行列式为=,=，在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），它们均可以按定义2.1中的方法进行计算展开进行降阶，再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式. 2.2 三对角型和次三对角型行列式的计算 定义2.2.2 形如和的行列式称为三对角或次三对角型行列式（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），其行列式的值等于按第1行（或第1列）或按第行(或第列)展开，从而得到两项的递推关系式以导出其计算公式. 例2.2.2 计算级行列式的值. 解 观察行列式可知其为定义2.2.2中所定义的三线型行列式，则可以按照定义给出的方法按其第一行展开知 直接递推不易得到结果（阶较低阶时则可以） 于是有 同理可知行列式的计算公式为 也可得出行列式的公式为 于是可得出 所以知 2.3 “两岸”行列式的计算方法 定义2.3.1 形如(或) 的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于 (或) 注：对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第列(行)都加到第1 （行）（或第列（行）加到第列（行））,则第1（或）列(行)的元素相等，再进一步化为三角或次三角型行列式. 2.4 奇数阶反对称行列式的计算 定义2.4.1 形如的行列式称为是奇数阶反对称行列式( 其中为奇数)，此行列式值为0. 2.5 Vandermonde行列式的计算 定义2.5.1 形如的行列式称为是Vandermonde行列式，其值为 例2.5.1 计算行列式的值. 解 观察可知此行列式貌似定义中的行列式，因此可以想办法构造Vandermonde行列式然后利用定义中的公式进行计算. 令 易知原行列式是多项式的项系数的项系数的反号，而由上式知项系数为 故所求行列式的值为 2.6 上三角形（或下三角形）行列式的计算 定义2.6.1 形如（或）的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式，其值为 2.7 次三角形行列式的计算 定义2.7.1 形如或的行列式称为次三角形行列式，其值为 2.8 分块三角形行列式的计算 定义2.8.1 形如（或）（或）的行列式称为分块三角形行列式，