系统建模理论及应用05_2003.ppt

系统建模理论及应用 系统建模理论及应用 清华大学自动化系 系统工程研究所 2003季学期 第四章 梯度校正建模理论研究 最小二乘建模递推算法的结构: 新的估计值 = 前一步的估计值 + 修正值 梯度校正法: 沿着准则函数的负梯度方向,逐步修正 模型的参数估计值,直至准则函数达到 最小值. 梯度建模方法的应用: 1. 确定性问题的梯度建模方法; 2. 随机性问题的梯度建模方法; 3. 随机逼近法的应用; 4.1 确定性问题的梯度校正建模(1/6) 设系统的输出是参数的线性组合 如果y(t)和所有的h(t)是可以准确测量的, 称为确定性过程, 设： 可以简单记为: 在离散时间点有可以写成: 例如用差分方程描述的确定性过程可以写成: 4.1 确定性问题的梯度校正建模(2/6) 很容易化为定义式 其中 建模的核心问题就是如何根据数据 来确定参数 在k时刻的估计值, 使用准则函数 式中 解决此类问题的方法可以用梯度校正法，也就是最速下降法。其核心就是沿着 的负梯度方向不断修正 的值，直至 达到最小。 4.1 确定性问题的梯度校正建模(3/6) 4.1 确定性问题的梯度校正建模(4/6) 4.1 确定性问题的梯度校正建模(5/6) 4.1 确定性问题的梯度校正建模(6/6) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(1/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(2/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(3/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(4/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(5/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(6/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(7/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(8/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(9/10) 4.2 随机性问题的梯度校正建模(10/10) 4.3 随机逼近法(1/7) 4.3 随机逼近法(2/7) 4.3 随机逼近法(3/7) 4.3 随机逼近法(4/7) 4.3 随机逼近法(5/7) 4.3 随机逼近法(6/7) 4.3 随机逼近法(7/7) 4.4 参数建模的收敛性问题(1/3) 4.4 参数建模的收敛性问题(2/3) 4.4 参数建模的收敛性问题(3/3) 总结 梯度校正法建模的基本原理 确定性问题梯度校正法建模 介绍问题的描述和数学上表达方式方法 随机问题梯度校正法建模 介绍几种实用的随机问题的梯度校正建模方法 随机逼近法梯度校正法建模 随机逼近的基本概念和在建模中的应用。 系统建模理论及应用 * 系统建模理论及应用 * 这种方法的数学表达式为： 其中：R(k)称为加权阵，是n维的对称矩阵。 表示准则函数 关于 的梯度 有 确定性问题的递推公式可以写成: 加权阵的作用是用来控制各输入量对建模的影响程度。其基本格式为: 只要适当选择 ，就能控制各输入分量 对参数估计值的影响。 如果取 表示输入分量 对参数估计值的影响弱于 。 如果取 表示输入分量的加权值相同，对参数估计的影响是一致的。 权矩阵的选择视具体问题而定。 加权阵R(k)的各元素应该满足如下条件: 式中 为确定的上、下界。 1、 2、N个 中至少存在一个 使得 或 3、 加权阵R(k)的各元素应该满足如下条件(Cont.): 4、 与h(k)不正交 则：参数估计 是一致渐进收敛的，即： 条件1规定了加权值必须是大于0且为有界的实数；条件2是推倒条件3的前提；条件3、条件4保证收敛的条件。 条件3规定了c(k)存在一个选择范围，在理论上是可以证明存在最佳权矩阵，保证快速收敛。 梯度校正法的最大优点是计算简单, 但是如果输入输出含有噪声,就需要对原由方法进行修改, 需要研究随机性问题梯度校正法。新方法也具备计算简单的特点，可以用于在线实时辨识，但要求噪声的统计特性：一阶矩和二阶矩是已知的。 设输入输出均含噪声的随机性问题如下图： 系统模型 参数 h(k) s(k) x(k) y(k) w(k) z(k) 系统的输出y(k)是模型参数的线性组合： 观测到的输入输出数据均含有测量噪声，即： 其中w(k)和s(k)为零均值的不相关随机噪声，且 则可得到