第六章3李氏第二方法.ppt

对称 正定 M阵的唯一性：为此将方程（6-44）写成 两式相减得 因此， 又 M阵唯一性的简单证明方法：考虑定理6-25*: 定理6-25* 设A、F和G/C分别是 矩阵，则方程 有 阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。 （6-45） 对(6-45)进行转置并令r=n, FT= ? A, CTGT=? N, P=M（注意M已是对称的）, 有 (6-46) 这里，用到了M为对称正定阵的假设。于是，M唯一存在的充要条件是－A与AT无相同的特征值。由于A渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，即： 证完。 几点说明： 2. 在求解（6—44）时比较简单的是取N为单位阵; 当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，而后解（6—44）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用Sylvester 定理写出M阵正定的条件，这样就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的条件是和N阵的选择无关的。 矩阵方程（6—44）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（6-44）所定义的 个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在; 例6— 10 显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（6—44）计算出的 却不是正定的。 需要引起注意的是，定理6-25并不意味着以下命题成立，即 “A渐近稳定，M正定，由（6—44）式所得的N一定正定。” 例6-9 考虑二维系统 求系统渐近稳定时参数应满足的条件。 令N=I，由（6-44）式可得 上述方程组的系数矩阵A1的行列式为 （6—44） 若detA1?0，方程组就有唯一解，其解为 由M正定的Sylvester 判据可得 (3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。 渐近稳定。 有正定对称解的充分必要条件为 定理6-26 若定理6-25（6-44）中的N取为半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零，则矩阵方程 ATX+XA=?N （6-46） 注：关于定理6-26 “xTNx沿方程的非零解不恒为零”的条件不能少。 例1: A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定 这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，容易算出 若将N分解为 N=[1 0]T[1 0]:=CTC，则易于验证 (A，C)不可观测。 例2. N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。 分析：1. xTNx沿方程的非零解 2. 令C=[1 0], N=CTC, 可知(A, C)不可观测。 但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。 xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A, C)可观测,定理满足。 例3： 结论： “xTNx沿方程的非零解不恒为零, ”可用(A, C)可观测代替，这里N= CTC。进而，我们有： 定理6-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程 （6—44） 在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(6-44)的解M为正定。 关于定理的证明： 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为 N=CTC 的形式。易于证明（例如用反证法），(A, N)可观测可推得(A, C)可观测。 必要性证明：类似于定理6-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，N)可观测的半正定阵N，由积分 确定的矩阵M必满足(6-44)且为正定（可观测性Gram矩阵）。 充分性证明：若在给定（A, N)为可观测的半正定阵N下，方程(6-44)的解M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑 这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒为零。由定理6-21**，系统必渐近稳定。 证完。 例题6-11： 考虑如下三阶多项式： 注: 以上证明可以去掉，根据“(A,C) 可观测当且仅当? ={0}”这一命题就立即可以看出x0?0。 令 定义系统如下： 假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开： 试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。 则 不难验证，g(s)可由下列