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进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 乙 E [X - E(X)]2 乙比甲技术稳定，故乙技术较好. §4.2 方 差 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机变量 X 称 为 X 的均方差或标准差. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 D(X ) — 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 §4.2 方 差 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： 例7 设X ~ P (?), 求D ( X ). 解 §4.2 方 差 例8 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ) 解 §4.2 方 差 常见随机变量的方差(P112 熟记) 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? §4.2 方 差 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) §4.2 方 差 D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 若 相互独立， 为常数,则 §4.2 方 差 若X ,Y 相互独立 对任意常数C, D (X ) ? E(X – C)2 ,当且仅当 C = E(X )时等号成立 D (X ) = 0 P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) §4.2 方 差 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 性质 4 的证明： 当C = E(X )时，显然等号成立； 当C ? E(X )时， 例9 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解二 引入随机变量 相互独立， 故 解一 利用 求D (X ). §4.2 方 差 例 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 故 例4 例10 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数 , 已知每次射击中靶的概率 为 p , 求E(X ), D(X ). 解: 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n 相互独立，且 §4.2 方 差 故 本例给出了几何分布与帕斯卡分布的期望与方差 §4.2 方 差 例11 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机地放入编 号分别为 1 ~ n 的n 只盒子中,每盒一 球. 若 球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配 对. 求配对个数 X 的期望与方差. 解 则 不相互独立， 但 P 1 0 §4.2 方 差 P 1 0 P 1 0 P 1 0 §4.2 方 差 P 1 0 §4.2 方 差 与 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， 仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 例如 有相同的期望方差但是分布却不相同 §4.2 方 差 例12 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数. 解 在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布. §4.2 方 差 * * 第四章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性,