第5讲 大数定律与中心极限定理.pptVIP

例4. 一台印刷机每页印刷出现错误的概率为0.2，在这台印刷机上复印一本400页的书，求出现印刷错误的页数不超过15的概率。 解： 设 则 为400页数中出现错误的页数，且Xi为i. i. d。 根据De Moivre-Laplace中心极限定理 下 回 停 下 回 停 概率论与数理统计 第五讲大数定律与中心极限定理 本讲主要内容 第1节 大数定律 第2节 中心极限定理 第1节 大数定律 切比雪夫不等式 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 定义5.1 设X1，X2，…，Xn，…是一随机变量序 列，a是一常数，若对任意正数?，有 则称序列X1，X2，…，Xn，…依概率收敛于a，记 为． 依概率收敛定义 大数定律的定义 定义5.2 二、大数定理 定理5.1(马尔可夫大数定律) 设 为一列随机变量序列，则 条件:(1)随机变量的方差存在； (2)满足马尔可夫条件： 结论：称 服从大数定律，即 定理5.2（切比雪夫大数定理） 条件:(1)设 X1,X2, …是两两不相关的随机变量序列; (2)它们都有有限的方差且方差有共同的上界， 即 D(Xi) ≤C，i=1,2, … 结论：称 服从大数定律，即对任意的ε0， 说明 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 定理5.2的另一种叙述: 定理5.4（贝努利大数定理） 关于贝努利定理的说明: 故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 条件:(1)设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布; (2)具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 结论:则对于任意正数ε ，有 定理5.3（辛钦大数定律） 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 注 2、辛钦定理具有广泛的适用性. 第2节 中心极限定理 一、中心极限定理 定理1（独立同分布中心极限定理） 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 注1： 大数定律是参数估计理论中矩估计的理论依据，中心极限定理主要用于近似计算。 注2： De Moivre-Laplace中心极限定理是Lindeberg-Leve中心极限定理在随机变量序列 独立同分布于0-1分布的特例。 注3： Chebysher不等式主要针对均值和方差已知时，对随机变量取值的概率作粗略估计。 例1. 设总体X服从参数为2的指数分布， 为来自总体X的简单随机样本，则当 时， 依概率收敛于 。 解： 由于 独立同分布，所以 也独立同分布，而且 由辛钦大数定律 例2. 设 则 解： 设 则 由切比雪夫不等式 01YM1 例3. 已知一本400页的书中每页印刷错字个数服从参数为0.02的泊松分布，求这本书印刷错字的个数不超过15的概率。 解： 设 表示每页出现错字个数，则 为400页中出现错字的个数。且Xi为i. i. d。 根据Lindeberg-Leve中心极限定理 下 回 停 下 回 停