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第12章 扭转 (torsion) §12.1 圆轴扭转时的应力分析 12.1.1 圆轴扭转时的变形几何关系 12.1.2 圆轴扭转时的物理关系 12.1.3 圆轴扭转时的力系等效关系 12.1.4 圆轴扭转时轴内各点的应力状态 §12.2 圆轴扭转时的变形分析 §12.3 扭转时材料的力学性能 §12.4 圆轴扭转时的强度与刚度计算 §12.5 非圆截面杆扭转的概念 §12.6 薄壁杆件的自由扭转 12.6.1 开口薄壁杆件的自由扭转 12.6.2 闭口薄壁杆件的自由扭转 §12.7 圆轴的塑性扭转（不要求） 12.7.1 屈服扭转和极限扭转 12.7.2 残余应力 第12章 扭转（torsion） * * 4学时 作业 12.2 12.3 12.7 12.9 12.11 12.12 杆件受外力作用，若横截面只有作用面为横截面的力偶矩这一个内力分量，则杆件发生扭转变形。 传动轴是工程上常见的存在扭转变形的杆件。 本章主要内容： (1) 圆截面轴的扭转； (2) 简单介绍非圆截面杆件的扭转问题。 第12章 扭转（torsion） §12.1 圆轴扭转时的应力分析 扭矩 (torque) 扭矩图 圆截面直杆在轴向外力偶矩的作用下产生扭转变形，各横截面上的内力分量只有扭矩，用T表示。 利用静力平衡条件，可求出各横截面上的扭矩，并画出扭矩图。 下面讨论各横截面上的应力分布，需要综合变形几何、物理及力系的等效三方面的关系。 12.1.1 圆轴扭转时的变形几何关系 圆轴扭转的平面假定 (plane assumption) 变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，其形状大小不变，只是绕轴线刚性地转动了一个角度。这称为圆轴扭转的平面假定。 根据圆轴扭转的平面假定导出的应力和变形计算公式符合实验结果，且与弹性力学的结论一致。。 扭转角 (angle of twist) 圆轴受扭后，两个端面之间的相对转角为 ，称为扭转角。 圆轴扭转的变形几何关系 扭转角沿轴的变化率 对于某一给定的横截面 同一横截面上，不同点的切应变，其大小与该点距圆心的半径 成正比。式(d)即为圆轴扭转时的变形几何关系。 12.1.2 物理关系 圆轴扭转的应力状态 由于圆轴扭转时，圆周线大小形状不变，纵向线长度不变，因而横截面上各点只存在切应变，处于纯剪切应力状态。 圆轴扭转时的剪切胡克定律 表明： 横截面上各点的切应力大小沿半径方向呈线性分布。 圆轴表面处切应力最大，而圆心处切应力为零。 如图所示。 12.1.3 力系等效关系 未知量 现在考察任一横截面上的分布内力系，应满足的力系等效关系，即横截面上作用线位于该截面内的分布内力系可简化为一个合力偶，其合力偶矩就是该截面上的内力扭矩。 无法计算 对某一横截面 极惯性矩 单位长度扭转角 单位： 令 圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式 当 时， 圆轴横截面最外缘处切应力有最大值 令 扭转截面系数 (section modulus of torsion) 单位： 圆轴扭转时横截面上的切应力公式的适用范围 圆截面轴，平面假定 仅适用于实心、空心圆轴及直径变化不大的圆台形轴，且要求轴的变形较小，保证材料处于线弹性范围之内。 实心、空心圆截面几何量 实心圆轴： 空心圆轴： 12.1.4 圆轴扭转时轴内各点的应力状态 纯剪切应力状态 (pure shear state of stress) 结论： (1) 纯剪切应力状态等价于二向等值拉压应力状态； (2) 二个非零主应力的方向与圆柱面母线夹角为 或 ； (3) 圆轴的横截面和过轴线的纵向截面都是该点的最大切应力作用面； (4) 为了控制轴的强度，只需控制横截面上的切应力最大值即可。 §12.2 圆轴扭转时的变形分析 扭转时的变形大小表现为两个横截面之间的相对转角（扭转角）的大小。 (2) 距离为l 的两个横截面之间的相对扭转角为 (3) 若轴为等直杆，且在长度l 范围内扭矩为常数，则 (4) 若轴为阶梯轴，各段 不同，或扭矩T分段为常数，则 (1) 相邻为dx的两个横截面之间的相对扭转角为 扭转刚度 (torsional rigidity) 称为扭转刚度。 越大，轴的扭转角越小。 扭转角 的转向与扭矩 T 的转向相同。 §12.3 扭转时材料的力学性能 为了判断轴的强度是否足够，必须了解材料在