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一、行列式
知识结构网络图
行列式是线性代数中的重要工具,在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到.本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式.行列式的计算除了利用性质及展开定理外,还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等,计算方法多,技巧性强,这是难点所在.要掌握好这些方法,首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律,针对其特点采取适当的方法;其次是要注意总结、积累经验,不断提高运算能力.
行列式的性质
【例】:已知531,252,234都是9的倍数,利用行列式的性质(而不是展开),证明也是9的倍数。
解答:
【例】:如果除最后一行外,从每一行减去后面的一行,而从最后一行减去原先的第一行,问行列式值如何变化?
解答:设原行列式为,则新的行列式为,
特殊行列式
1、(主)对角行列式、上(下)三角行列式
2、(次)对角行列式、上(下)三角行列式
3、分块三角行列式
形式简记为:,
4、范德蒙德行列式
认识范德蒙德行列式
可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于n个变量的函数,即。此种类型行列式具有如下三个特点:
从列的角度看:第j列元素从上到下依次为同一个变量的零次幂、1次幂、…、n-1次幂,;
从行的角度看:第i行元素是从左往右依次为的i-1次幂,
从结果看:是关于变量的次齐次函数;而且该齐次函数可以分解为个一次因式之积,其中,即脚标大者与脚标小者之差。(说明:i可以取值为,例当i取值为4时,j只可以取值为3、2、1,即区间中的每一个整数)
当给定具体的范德蒙德行列式时,可能变量采用不同的名称,或者是已经赋予具体的值。
参见“范德蒙德行列式专辑”
认识余子式(Minor)和代数余子式(Algebraic Minor),及其之间的关系
的元的余子式和代数余子式,仅与位置有关,的取值如何并不影响其余子式和代数余子式的取值。,代数余子式即为带符号的余子式。
利用教材P21例13深入理解余子式和代数余子式及其关系。
【例】:已知4阶行列式D中,第一行元素分别为1,2,0,-4;第三行的4个元素的余子式分别为:。求x的值。
解答:,所以有,
,所以。
【例】:
1、设行列式的元素为,行列式
试证:,其中为在中的代数余子式。
证明:把升阶得到
2、设,是在中的代数余子式,求证
计算技巧:
利用特殊行列式计算,利用公式求行列式值
【例】:计算行列式
令,
加边法专辑
加边法的应用:通过升阶获得一些特殊的元素值,从而消去某些元素,使得行列式形式更加简单且特殊,从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用Laplace展开定理,看似复杂化,其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化,更易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
【例】:
,其中
解答:
。
解答:
爪型行列式专辑
爪型行列式形如:
方法:将D的第i+1列乘以都加到第1列,得
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式,再采用上述方法计算。
【例】:化为爪型行列式的方法:
先采用加边法
加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值:
范德蒙德行列式专辑
,此4阶行列式并非范德蒙德行列式,并非4个元素的零次至3次幂构成。
解法一:采用降阶法,即利用行列式展开定理,逐步展开行列式。
或者
解法二:利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列,使之成为5阶范德蒙德行列式
,其中(4,5)元素的余子式即是所求。
按第5列展开,即
根据范德蒙德行列式得
其中
(1)式与(2)式是的4次多项式的两种表示方式,比较两者的系数,于是得到的系数为
所以
【例】:计算行列式
【例】:计算
解答:将第1行的-1倍加到第2行,再将第2行的-1倍加到第3行,…,最后将第n-1行的-1倍加到第n行,于是原行列式变换为
【例】:计算
解答:依次对每一行提出因子
【例】:设,用范德蒙德行列式证明
解答:给定行列式并非范德蒙德行列式,因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。
三角形行列式
利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算。注意通常化为以下几类三角形行列式:
;
爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算。
递推法
变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示,从而建立起递推关系。
【例】:计算行列式
。
【例】:计算三对角线行列式(即行列式的非零元素都在对角线上,以及与对角线“平行”的上、下两条斜线上)
解答:将按第1列展开得,建立递推公式
即得:,整理得
递推得到:
,
所以:,即得到递推公式
并依此公式递推:
数学归纳法:
教材习题一5(5)
用数学归纳法证明:
1、当n=1时,
2、当n=2时,
3、假设对于n-1阶行列式命题成立,即
那么按第一列展开Dn,
将(1)式带入(2)式,即可得
Cramer法则
线性方程组
当时,该线性
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