第讲时变电磁场().docVIP

第14讲 时变电磁场（2） 本节内容： 一，坡印廷定理和坡印廷矢量 二，时谐场 三，复介电常数与复磁导率 一，坡印廷定理和坡印廷矢量 电磁场是一种物质，并且具有能量。 交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。 电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并且随着电磁场的变化在空间传输。 下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理，以及描述能量转移情况的电磁能流矢量——坡印廷矢量。 1，电磁能量守恒——坡印廷定理 （1）由麦克斯韦第一、二方程： （5.5-1） （5.5-2） （5.5-2）-（5.5-1）得： （5.5-3） 而： 同理： ∴ 由矢量恒等式： 上式两边积分： 即： 即： —坡印廷定理 下面解释一下上式各项的物理意义。 由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为，显然右边第二项为体积V内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率。而体积V内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V之外。显然，式中第一项代表的是通过S流出体积V的功率。若媒质为无耗的（），则，此时，V内功率的减少就等于流出V的表面S的功率。 坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。 （2）假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为σ，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=σE。根据焦耳定律，在体积V内由于传导电流引起的功率损耗是 由麦克斯韦方程式 利用矢量恒等式 利用散度定理上式可改写为 这就是适合一般媒质的坡印廷定理。 利用矢量函数求导公式 对于各向同性的线性媒质，即D=εE, B=μH, J=σE, 可知， 同理， 对于各向同性的线性媒质， 坡印廷定理表示如下： 为了说明上式的物理意义，我们首先假设储存在时变电磁场中的电磁能量密度的表示形式和静态场的相同，即。其中，为电场能量密度，为磁场能量密度， 它们的单位都是。 另外，引如一个新矢量 电磁能流与坡印廷矢量 因为代表经曲面S流出体积V的功率，所以被积函数代表通过单位面积的功率流，或能流密度矢量。令： ——坡印廷矢量（W/m2） 的方向为能量流动的方向，大小为垂直流过单位面积的功率。空间只要有电场和磁场同时存在，就会有能量流通。即使在直流情况下也是如此。 据此，坡印廷定理可以写成 式右边第一项表示体积V中电磁能量随时间的增加率， 第二项表示体积V中的热损耗功率(单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量)。 根据能量守恒定理，上式左边一项代表单位时间内穿过体积V的表面S流入体积V的电磁能量。因此，面积分左面第一项表示单位时间内流出包围体积V的表面S的总电磁能量。由此可见，坡印廷矢量S=E×H可解释为通过S面上单位面积的电磁功率。 在静电场和静磁场情况下，由于电流为零以及 ， 所以坡印廷定理只剩一项∮S(E×H)·dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动。由此可见，在静电场和静磁场情况下， S=E×H并不代表电磁功率流密度。 在恒定电流的电场和磁场情况下， 所以由坡印廷定理可知，∫V J·EdV=-∮S(E×H)·dS。因此，在恒定电流场中，S=E×H可以代表通过单位面积的电磁功率流。它说明，在无源区域中，通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率。 在时变电磁场中，S=E×H代表瞬时功率流密度，它通过任意截面积的面积分P=∫S(E×H)·dS代表瞬时功率。 [例5.5-1] 内、外半径分别为a、b的同轴线，加电压，端接电阻R，导体上有电流，求输入到电阻的功率。 解：输入到R的功率等于通过任一横截面的功率 ， 而 ∴ 而： ∴ ∴ 这与电路中的结果是一致的，但它揭示了能量传输的机理。负载消耗的能量是通过同轴线中的内、外导体间电磁场传输的，而不是通过导体传输的，导体仅起引导作用。 例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解：如图，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有 在导线表面， 因此，导线表面的坡印廷矢量 它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分， 二，时谐场 前面的讨论是针对随时间任意变化的电磁场进行的，在实际问题中，通常只需要研究随时间