第十一讲二元函数微分与极值.docVIP

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象 2006级本科 授课题目 第十一讲　二元函数的微分与极值 课时数 4 教学 目的 通过教学使学生掌握二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，掌握最值的求法，会利用这些理论解决生产实际的应用问题。 重 点 难 点 1．重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法； 2．难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。 教 学 提 纲 第十一讲 二元函数的微分与极值 一、多元函数的微分 1.多元函数的极限 2、偏导数 3、全微分 二、极值与最值 1．二元函数的无条件极值 2．二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法 3．二元函数的最值 三、应用 1.曲面的切平面与法线方程 2.场论初步 教学过程与内容 教学 后记 第十一讲　二元函数的微分与极值 二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。 一、多元函数的微分 1.多元函数的极限 ( 也记作 或f (P)(A(P(P0)( 【说明】 (1)二重极限存在( 是指P以任何方式趋于时( 函数都无限接近于A( (2)如果当P以两种不同方式趋于时( 函数趋于不同的值( 则函数的极限不存在( 例1： 设( 求证( 【证明】 因为 ( 因此( 例2：讨论：函数在点(0( 0)有无极限？ 【解】( 当点P(x( y)沿x轴趋于点(0( 0)时( ( 当点P (x( y)沿直线y(kx有 ( 因此( 函数f(x( y)(0( 0)处无极限。 2、偏导数 【说明】关于求导时，暂时把看成常数。 例３：验证函数满足方程(　　 ( 所以 ( ( (　　 (　　z(f(x( y)在点(x( y)的全增量 (z( f(x((x( y((y)(f(x( y)可表示为 ( 　　即　　 其中A、B(x、(y x、y ( 则称函数z(f(x( y)在点(x( y)可微分( 而称A(x(B(y为函数z(f(x( y)在点(x( y)的全微分( 记作dz( 即 dz(A(x(B(y( 【说明】 　　（１）如果函数z(f(x( y)在点(x( y)可微( 则函数在该点的偏导数、必定存在，但反过来不对； （２）如果函数z(f(x( y)在点(x( y)可微( 则函数在该点连续； （３）、在(x( y)存在，函数z(f(x( y)在(x( y)不一定连续 例4：讨论函数在点(0(?0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性。 【解】 函数在点(0(?0)处连续；由偏导数的定义知f x(0( 0)?0及f y(0( 0)?0； ?但函数在((?0)不可微分(这是因为当((x( (y)沿直线y?x趋于(0( 0)时(? (不趋向0. 4、偏导数的求法 （1）复合函数求导法 ， 例5： （1）,求 （2）,求 【解】(1) (2) （2）隐函数求导法 若函数由方程确定，方程两边关于求导， ，所以，，同理， 例6： （1）若函数由方程确定，求。（C） （2）若函数由方程组确定，求。 【解】(1)C (2)方程两边关于求导 　　　　　　　解得 例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时， 求　(1)；（2）记，求. 【解】(1), (2) （3）高阶导数 ,, 例7：设函数在内具有二阶导数，且满足等式.验证. 【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得 【解】设，则 . ， . 将代入得 　　　　　　　. 例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 【解】 ， 故 ， 所以 = 二、极值与最值 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，，，则 当且 A0时，f为极大值； 当且A0，f为极小值； 时，不是极值点。 【注意】 当B2－AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例9：