怀化学院精品课程高等代数教案：第二章行列式.docVIP

第二章 行列式 §1 引言 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组 当时，此方程组有唯一解，即 我们称为二级行列式，用符号表示为 . 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 时，该方程组有唯一解，即 . 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 称代数式为三级行列式，用符号表示为： . 当三级行列式 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 . 在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组 的情形.为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，这是本章的主要内容. §2 排列 一、排列的定义 定义1 由组成的一个有序数组称为一个级排列. 所有不同的级排列共有！个． 显然也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 注 1）排列的逆序数记为 例1． 逆序有：31，32，54， 52， 42 逆序有：31，31，54，51，52，41，42． 注2）=后面比小的数的个数++后面比小的数的个数． 或=前面比大的数的个数+前面比大的数的个数++前面比大的数的个数． 例2．求级排列及的逆序数 解： 练习：求下列排列的逆序数． （1） （2） 解：（1） （　　） （2） 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列.对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部级排列两两配对，使每两个配成对的级排列在这个对换下互变. 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个. 定理2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. §3 级行列式 一、级行列式的概念 在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有 , (1) (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 , (3) 其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号. 定义4 级行列式 (4) 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 (5) 的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成 , (6) 这里表示对所有级排列求和. 注： 1）常记　或． 2）中的数称为行列式处于第行第列的元素，称为行指标，称为列指标． 3）级行列式定义展开式中共有项． 定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 例1． 一般地 （对角形行列式） 类似可得 上三角形行列式 （8） 下三角形行列式 . 这两个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 练习： 1） 2） 例2．已知，求的系数． 解：由级行列式定义，是一个的多项式函数，且最高次幂为．显然含的项有两项：与，即与 中的系数为－1． 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来.事实上，数