微积分经济类考研基础习题第三章中值定理与导数应用.docVIP

微积分经济类考研基础习题 第三章 中值定理与导数的应用 一、填空题 1.函数在上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于不满足罗尔定理的一个条件： . 2.极限的值等于 . 3.极限的值等于 . 4.函数在区间 .上单调递增. 5.设函数在上可导，且，则在上是单调 .函数. 6.函数的极小值是 . 7.函数的极大值是 . 8.函数在上的最小值是 . 9.函数在上的最大值是 . 10.曲线在区间 上是凸的（即向下凹的）. 11.曲线在区间 上是凹的（即向上凹的）. 12.曲线的拐点坐标是 . 13.曲线的渐近线方程是 . 二、选择题 1.设在的某去心邻域内可导，且适合及，则（I）: 与（II）: 的关系是（ ）. （A）（I）是（II）的充分但非必要条件 （B）（I）是（II）的必要但非充分条件 （C）（I）是（II）的充要条件 （D）（I）不是（II）的充分条件，也不是（II）的必要条件 2.设在上二阶可导，问还要满足以下哪个条件（ ），则必是的最大值. （A）是的唯一驻点 （B）是的极大值点 （C）在上恒为负值 （D）在上恒为正值 3.“在内可导且当时 ；当时”是在处取得极大值的（ ）. （A）必要但非充分条件 （B）充分但非必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件. 4.设且则（ ）. （A）该函数有极大值 （B），该函数有极小值 （C），（1,1）该曲线的拐点 （D），是该函数的极小值 5.命题（I）:是命题（II）：的（ ）. （A）必要但非充分条件 （B）充分但非必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 6．设处处连续，且在处有处不可导，那么有（ ）. （A）都必不是的极值点 （B）只有是的极值点 （C）都有可能是的极值点 （D）只有是的极值点 7.设其中在上恒为正值，其导数为单调减，且则（ ）. （A）所表示的曲线在处有拐点 （B）是的极大值点 （C）曲线在上是凹的 （D）是在上的最小值 8.设曲线的方程为则（ ）. （A）曲线没有渐进线 （B）是曲线的渐进线 （C）是曲线的渐进线 （D）是曲线的渐进线 9. 设曲线的方程为,则（ ）. （A）是曲线的渐进线 （B）曲线没有渐进线 （C）是曲线的渐进线 （D）是曲线的渐进线 三、计算题 1.极限. 2.求极限. 3.求极限. 4.求极限（都是不为０的常数）. 5.求极限. 6.求极限. 7.求极限. 8.求极限. 9.试确定的值，使在点处有拐点，且在处有极大值为１，并求此函数的极小值. 10.求在上的最大值与最小值. 11.设对所有，函数均可导，且 试在中比较与的大小. 12.讨论在其定义域上的最大值与最小值. 13.求的极大值与极小值. 14.设可微函数由方程所确定，试确定此函数的单调区间. 四、证明题 1.验证罗尔定理对在[]上的正确性. 2.验证柯西中值定理对函数和在[]上的正确性. 3.设在[0，1]上连续，在内可导，且证明：在内至少存在一点，使【提示：设辅助函数】 4.证明不等式：当时， 5.证明：当时，有不等式：. 6.证明恒等式：. 四、附加题 1.设在上连续，在内可导，又. 试证：. 2.设函数在上连续，在内可导，且, ，试证必存在 . 3.设在[0,1]上连续，在内可导，且，，则在内至少存在一点. 4.设，试证在与之间存在一点，使 . 5.设，在上连续，在内可导，证明:存在，使得. 6.设函数在上具有三阶连续导数，且, ,,证明：在内至少存在一点. 7.试证当时，. 8.设，证明: （1）； （2）. 9.设, 证明：. 10.设，证明不等式,在点处可导，且,，，在处二阶导数存在，则点（ ）. （A）不是的驻点 （B）是的驻点，但不是极值点 （C）是的极小点 （D）是的极大点 12．设有二阶连续导数，且，，则（ ） （A）是的极大值. （B）是的极小值. （C）是曲线的拐点 （D）不是的极值，点也不是曲线的拐点 13.设，内的驻点为，问为何值时，最小？并求出最小值. 14. 求极限. 15.计算. 16．求极限. 9