正余弦定理及斜三角形.docxVIP

第12讲正余弦定理及斜三角形正弦定理及证明正弦定理设在中，所对应的边分别为，为外接圆的半径，则正弦定理可表述为：证明方法正弦定理变式与证明（1）（2）（3）余弦定理及证明2.1余弦定理设在中，所对应的边分别为，则余弦定理可表述为：2.2证明方法常用证明方法有如下4种：平面几何法、直角坐标法、向量法和正弦定理法，下面详细介绍。（1）平面几何法：在?ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如图1所示：图1过A作于D，则有：，；在中，根据勾股定理得。同理可得：，。（2）直角坐标法：首先建立以A为原点，为轴的直角坐标系，如图2所示：图2则可得点A、C坐标分别为，，设点B的坐标为，由三角函数的定义，得，，即点B的坐标为。根据两点间的距离公式，得：也就是，同理可得：，。（3）向量法：在中，如图3所示：图3显然有，所以：也就是。同理可得：，。（4）正弦定理法：由由正弦定理变形，得：要证明余弦定理： = 必须先证明等式：成立。证明：余弦定理得证。2.3余弦定理变式与证明（1）在中，有。证明：根据余弦定理：，则有：。同理可得：在中，有，。例：已知在中，所对应的边分别为，且满足：.(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)设，求的取值范围.解：(Ⅰ)，，；(Ⅱ)，，，又，，.解斜三角形3.1形状判定在中，满足：，则的形状为等腰直角三角形。证明：………………………………………①………………………………………②由①=②：，即，所以为等腰三角形；…………………………………③依据正弦定理得：…………………………………………………④将③代入④得：即，又因为，所以，所以为直角三角形；综上所述，为等腰直角三角形。在中，满足：，则的形状为等边三角形。证明1：，所以为等边三角形；证明2：依据余弦定理：，所以为等边三角形；在中，满足：，则的形状为等腰三角形。证明：，所以为等腰三角形；在中，满足：，则的形状为直角三角形。证明：，所以为直角三角形；在中，满足：，则的形状为等腰或直角三角形。证明：或。当时：为等腰三角形；当时：为直角三角形；在中，满足：，则的形状为等腰或直角三角形。证明：，为等腰或直角三角形；在中，满足：，则的形状为直角三角形。证明：，所以为直角三角形；在中，满足：，则的形状为等腰或直角三角形。证明：或，当时，为等腰三角形；当时，为直角三角形，所以为等腰或直角三角形。在中，满足：，则的形状为直角三角形。证明：所以为直角三角形。在中，满足：，则的形状为等腰三角形。证明：，所以为等腰三角形。