概率论与数理统计课件03A 随机变量的数字特征.pptVIP

随机变量的数字特征Ⅰ 数学期望的实际背景和数学意义 数学期望的性质与计算 数学期望的线性性质 离散型随机变量的数学期望 利用积分法计算连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 随机变量的数字特征 通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差和相关系数. 数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均值(mean or average value) 它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格的平均值, 和本书后面讲到的统计平均值有一些小差别. 例1 假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其岁数, 则观察到的岁数ξ为一随机变量, 不难求出ξ的分布率如下表所示. 现在要计算这个班的学生的平均年龄 有两种计算办法, 第一种办法是将这个班的学生的每个人的年龄加起来, 再除以这个班的人数20人, 即6个18岁, 10个19岁, 4个20岁加起来得平均年龄为 第二种办法是统计的办法, 实际情况更有用 就是通过对随机变量ξ进行一遍又一遍地重复试验, 假设这试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次数分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得的年龄数统统加起来除以n就是统计平均的年龄 当然, 统计平均值x与准确计算的平均值Ex还可能有差距, 但是当试验次数趋向于无穷时, 统计平均值 x 就趋近于数学期望Ex了. 假设离散型随机变量ξ有概率函数P{x=xk}=pk (k=1,2,...), 若级数 绝对收敛, 则称这级数为ξ的数学期望, 简称期望或均值, 记为Ex, 即 关于数学期望的一个力学上的解释, 在坐标轴上的x1,x2,...,等点处放置质量为p1,p2,...的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心. 若x服从0-1分布, 其概率函数为:P{x=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求Ex. 解: Ex=0?(1-p)+1?p=p 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两射手的技术. 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种, 相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06, 及0.04, 若其产值分别为6元,5.4元,5元4元及0元. 求产品的平均产值. 假设连续型的随机变量ξ的概率密度为φ(x), 现在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为Δx的无穷多个小区间, 试验的结果落在第k个小区间的概率近似为 在这种情况下我们计算x的数学期望, 可得 设连续型随机变量x有概率密度j(x), 若积分 已知随机变量x服从区间[a,b]上均匀分布,求它的数学期望Eξ. 设随机变量x的概率密度为: 一元随机变量x的函数f(x)的数学期望 我们知道, 数学期望总是可以通过对x进行反复试验的试验来近似获得, 试验n次得到了n个数,将这n个数进行算术平均就得到了Ex的近似值, 当n趋于无穷时这就成为准确值. 假设这n个数中有n1个是取值为x1的, n2个是取值为x2的, ..., 等等, 那么看作是对f(x)的试验, 也就是有n1个是取值为f(x1)的, n2个是取值f(x2)的, ..., 因此按照对f(x)进行反复试验的统计就有 当x为连续型的随机变量时, 假设概率密度为j(x), 则我们也可以用前面的办法用很小的区间宽度?x将其划分为xk, k=...-1,0,1,2,...近似为离散型随机变量, P{x=xk}=j(x) ?x, 假设进行了n次试验, 取值xk的有nk个, 则从对f(x)进行试验的观点看即取值为f(xk)的有nk个, 则 因此我们可以得出一个重要的性质, 就是无论x是离散型的随机变量还是连续型的随机变量, 我们都可以用下面的式子来计算x的函数f(x)的数学期望: 因为求f(x)的分布经常是不容易的, 这两个式子无须求f(x)的分布因此极大地简化了数学期望的计算, 在许多场合被广泛使用. 设随机变量x的概率密度为: 二元随机变量(x,h)的函数f(x,h)的数学期望 先考虑x,h为离散型的情况, 这时候有 P(x=xi,h=yj)=pij, 做了n次试验, 得到n组数, 假设正好取值为(xi,yj)的试验共发生了nij次, 则相应地从函数f(x,h)的角度看即是f(xi,yj)发生了nij次, 因此 再假设x,h为连续型, 其概率密度为j(x,y) 可以用两个很小的正数? x, ? y将整个平面划分为格形, 如果试验结果落