三个“二次”与函数综合应用新人教.docVIP

三个“二次”与函数的综合应用 一、考点扫描 高考近几年加大了在知识交汇处命题的力度，稳中求变，变中求新、求活，函数与不等式的结合，充分体现出知识网络所具有的极强的辐射作用． 1、要用函数的观点去理解不等式的解题法，如运用函数定义域、值域、单调性去解等式和不等式． 2、在解题过程中将不等式问题转化为函数问题，用数形结合思想列出等价不等式组，充分体现了函数、方程、不等式及数列结合的数学思想方法． 3、以含参变数的函数（特别是二次函数）为中心设计的不等式问题是考查的热点；导数与不等式也有可能有机地结合在一起． 二、方法论谈 函数思想是最重要最基本的数学思想方法之一，函数观点，实质是将问题放到动态背景下考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理方程、不等式、数列、曲线等问题． 1、利用函数思想求参数的取值范围，可以将已知条件变形或构造出函数，利用函数的性质，求得参数的取值范围． 恒成立； 恒成立． 2、函数单调性在不等式中的运用主要是解不等式或证明不等式；将函数模型的不等关系转化为不等式，由函数的单调性解不等式． 基本思路是：根据函数的单调性去掉具体的或抽象的函数关系符号，使两个函数值的不等关系转化为两个复合自变量的不等关系． 3、运用函数单调性或基本不等式求函数最值，也体现了函数与不等式的有机联系． 三、试题精选 例1：设是函数的反函数，则使成立的取值范围为（ ） A、 B、 C、 D、 解析：∵，∴为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，，即在f(x)中，在的条件下，求的范围． ∴． 答案：A 例2：函数的定义域为 ． 解析：偶次根下不能为负，∴． ∴有，得， ∴定义域是． 答案： 例3：设函数，求使的取值范围． 解析：由于y=2x是增函数，等价于 ① （1）当时，|， ∴①式恒成立； （2）当时，， ①式化为，即； （3）当时， ①式无解 综上，的取值范围是． 例4：已知函数（为常数），且方程有两个实根． （1）求函数的解析式； （2）设，解关于的不等式：． 解析：（1）将分别代入方程， 得，解得． 所以． （2）不等式即为， 可化为，即 ①当时，解集为； ②当时，不等式为，解集为； ③当时，解集为． 例5、不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解：设，则f(x)的最小值为2． （1）当时，函数是诚函数，∴对恒成立，只需，∴； （2）当时，函数是增函数，∴， 此时，不等式不成立． 综上，的取值范围是．答案：C 例6、已知且，函数当时恒有成立，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解：设函数，则当时，不等式等价转化为．在同一坐标系内作函数 的图象，如图，当时，得； 当时，，得．答案：C 五、过关训练 A组（基础达标） 1、若，则f(-1)与f()的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、不能确定 解析：，∵，， ∴．由于a1得在R+是增函数， ∴． 答案：C 2、函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：由题意即时，恒成立，作出，的草图（如图）． 将（）代入，得 解得，又由图象知， ∴． 答案：D 3、1、正实数及函数满足，且，则的最小值为（ ） A、4 B、2 C、 D、 解析：由可得． 又由可解得， ∴ 当且仅当，即． 从而解得当时，，故应选C． 4、若不等式，恒成立，则实数的取值范围是 ． 解：令，∵，∴． 原不等式可化为对恒成立． （1）当时，不等式左边＝１右边，不等式恒成立； （2）当时，不等式化为，对不恒成立； （3）当时，不等式对恒成立的 充要条件是：． 答案： 5、已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是 　　　　　． 解：如图，由图象知函数为上的奇函数，由 可得，即． 作直线，由图象可得不等式的解集为： ． 答案： 6、函数对任意的都有，并且当时，． （1）求证：是R上的增函数； （2）若，解不等式． 解（1）设且，则∴则 ∴，即是上的增函数． （2），∴． ∴不等式即为 ∵是增函数，于是有 解得：． 7、已知函数，其中是方程的两个根（）．当时，恒成立，确实数的取值范围． 解：解方程，得， ∵是方程的两个根，且， ∴，∴． 令，则∵,∴． 函数化为， 上式是闭区间上的二次函数，易知，． 当时，恒成立，∴． ∴实数的取值范围是，的取值范围是． 8、设函数 （1）若，解不等式； （2）若上恒成立，求的范围． 解析：（1） ①或 ② 解①得；②无解． ∴当时，不等式的解集为 （2）∵ 记， 则． 当时，，∴在上为增函数； 当，，∴在上为减函数． ∴当时，恒有， ∴时，恒有． ∴使恒成立的a的范围是． B组（能