大数中心极限定理.ppt

切比谢夫不等式表明:随机变量的方差越小,事件{|X-E(X)|?}发生的概率越大,即X的取值基本上集中在它的期望E(X)附近. 它有等价的形式 正态分布图 故可近似看成 X~N(E(X),D(X)) 大数定律 二.几个常用的大数定律 切比谢夫大数定理的实质是,当 时,随机变量序列{Xk}中前n个的算数平均 分布的分散程度很小,密集在其数学期望 的附近 该定理在概率论发展的初期由伯努利提出并证明,发表于1713年,它给出了”概率是频率的稳定中心”即”频率依概率收敛于概率”的严格数学表达 * * * * 第五章 大数定理与中心极限定理 大数定理的概念 切比谢夫不等式 切比谢夫定理 中心极限定理 大 数 定 律 在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性 大量的随机现象的平均结果具有稳定性 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 切比雪夫（Chebyshev)不等式 设随机变量X的数学期望EX和方差DX都存在，则 对于任意正数 ，如下不等式成立: ——切比雪夫不等式 证明 设X为连续型随机变量，其密度函数为 则 证毕 E(X)-? E(X) E(X)+? 练习 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率 解 在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望 和方差，即可对X的概率分布进行估值。 例 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均 值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每 毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则 则 而 所以 P105 例2 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给?0, 使得 则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 一.依概率收敛 等价地, 如 意思是:当 a 而 意思是: 时,Xn落在 内的概率越来越大. ,当 因此,依概率收敛比通常的收敛要弱 1.切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列,数学期望为E(Xk),k=1,2…，方差D(Xk)一致有界，即D(Xk)?t,则 即若任给?0, 使得 或等价地 证明:由切比雪夫不等式 故 2.伯努里大数定律（频率的稳定性） 定理 设 是n次独立试验中事件A发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 恒有 定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定 事件A在每次试验中出现的概率 3. 辛钦大数定律 若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, E(Xk)=?, k=1, 2, … 则 算数平均值法则的理论依据 中心极限定理（Central limit theoem) 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分 布，且有有限的数学期望 和方差 ，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式 定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布， 且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这 些随机变量之和 近似地服从正态分布 例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变 量，相互独立，且服从同一分布。其数学期望是2mm, 均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合 格，试求产品合格的概率。 解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,…,10)，则 由中心极限定理可知：X近似地服从正态分布 即 则产品合格的概率为 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace) 二项分