五邑大学复变函数第四版(高等数学出版社)第一讲.pptVIP

第一讲　复数 * 背　景 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 　　复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。 　　二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 CH1 §1复数及其代数运算 一般, 任意两个复数不能比较大小。 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为复数。 复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 复数的模 判断复数相等 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 2. 代数运算 四则运算 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即， 共轭复数的性质 3.共轭复数 定义 若z=x+iy , 称?z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate) 另见课本的例2，例3 共轭法 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法 §2 复数的表示方法 1. 点的表示 点的表示： 数z与点z同义. 2. 向量表示法 o x y (z) P(x,y) x y ? 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时) 辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 计算 argz(z≠0) 的公式 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。 o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1 由向量表示法知 3. 三角表示法 4. 指数表示法 注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要. 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 例1 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线； （2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x y (z) L z1 z2 z 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞t +∞） x y (z) O (0, -1) 2 例2 方程 表示 什么图形？ 解 见课本例4 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 §3 复数的乘幂与方根 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的