三、简单曲线的极坐标方程.pptVIP

在平面直角坐标系中，平面曲线Ｃ可以用方程f(?,?)=0表示。曲线和方程满足如下关系： (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ； (２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 那么，在极坐标系中，平面曲线是否可应用方程f(?,?)=0 表示呢？ 1.圆的极坐标方程 探 究 如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？ 如图，圆经过极点O，设圆和极轴的另一个交点为A，那么 即 ①  可以验证点O、A的坐标满足等式① 。 于是，等式① 就是圆上任意一点的极坐标(?,?) 满足的条件。另一方面，可以验证，坐标符合等式①的点都在这个圆上。 一般的，在极坐标中，如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ； (２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(?,?)=0 。 因此①就是圆心在C(a,0)，半径为a的圆的极坐标方程。 可以看出，在求曲线方程是，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，在通过代数变换进行化简。而且，与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，圆上点的坐标所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接。 题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2； (２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (３)中心在(a,?/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r。 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少 １.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程 * * 三、简单曲线的极坐标方程 x C(a,0) O A M (?,?) ? ? A O x M ? 例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 解：如果以圆心O为极点， 从O出发的一条射线为极 轴建立坐标系，那么圆 上各点的几何特征就是 它们的极径都等于半径r, 设M（ ?,? ）为圆上任意一点，则 ，即 。 显然，使极点与圆心重合时的圆的极坐标方程在形式上比① 简单。 ?＝2 ?＝2acos ? ?＝2asin ? ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?０)= r2 练习2 2.直线的极坐标方程 新课引入： 思考：在平面直角坐标系中 1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ; x=3 x=3 2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______ x=a 特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。 过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为 答：与直角坐标系里的情况一样，求直线的极坐标方程就是找出直线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程?(?,?)=0 ，再化简并讨论。 怎样求直线的极坐标方程？ 探究：直线l过极点，从极轴到直线l的 角为 ，求直线l的极坐标方程。 o M x ﹚ 如图，以极点为分界点，直线l上的点的极坐标分成射线OM、射线ON两部分，先看射线OM。 故所求射线的极坐标方程为： 新课讲授 所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。 射线ON上任意一点对 极角都是 ，因此射线 ON的极坐标方程为： 故过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为： 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM, o x ﹚ A M 由 有 即 可以验证，点A(a,0)的坐标也满足上式。 因此，这就是所求直线的极坐标方程