高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.2 对数函数（二）学案 苏教版必修1.docVIP

PAGE  PAGE 5 第2课时　对数函数的图象与性质 通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力. 对数函数y＝logax(a＞1)与指数函数y＝ax(a＞1)的性质比较 函数y＝axy＝logax图 象性 质定义域R定义域(0，＋∞)值域(0，＋∞)值域R过定点(0,1)过定点(1,0)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0在R上是增函数在(0，＋∞)上是增函数【做一做1】将指数函数f(x)＝3x的图象沿直线y＝x翻折后，可得函数__________的图象． 答案：y＝log3x 【做一做2】将对数函数y＝log2x的图象向右平移1个单位长度后可得函数__________的图象． 答案：y＝log2(x－1) 不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？ 剖析：由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝1交于点(a,1)(如图1所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增； 由于对数函数y＝logax的图象与直线y＝－1交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))(如图2所示)，所以对数函数y＝logax的图象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减． 图1 图2 题型一 对数函数的图象及变换 【例1】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 解：作复合函数的图象问题，可先考虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成． 先作y＝log2x的图象eq \o(―——―→,\s\up7(向左平移),\s\do5(1个单位))y＝log2(x＋1)eq \o(―————————―→,\s\up7(当－1x0时，图象关于x轴),\s\do5(对称，当x0时，图象不变))y＝|log2(x＋1)|eq \o(―————————―→,\s\up7(向上平移2个单位))y＝|log2(x＋1)|＋2. 如图所示． 反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径．本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与x，y的关系；对称变换要注意与x轴和y轴的关系． 题型二 对数函数的性质 【例2】已知函数f(x)＝lg |x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的图象的草图； (3)求函数f(x)的单调递减区间． 分析：(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(－x)的关系；(2)函数f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如下图所示． (3)方法一：由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)． 证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lgeq \f(|x1|,|x2|)＝lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))， ∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， ∴|x1|＞|x2|＞0. ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＞1.∴lgeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＞0.∴f(x1)＞f(x2)． ∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数， 即函数的单调递减区间是(－∞，0)． 方法二：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 设y＝lg u，u＝|x|. 当函数f(x)是减函数时，由于函数y＝lg u是增函数，则函数u＝|x|是减函数． 又函数u＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)， ∴函数f(x)＝lg|x|的单调递减区间是(－∞，0)． 反思：根据定义来判断函数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法． 【例3】已知函数f(x)＝lg(eq \r(x2＋1)－x)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断． 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称． f(－x)