5.1数学回归模型.pptVIP

5.1 数学回归模型 §2-1 回归分析的意义 一、概念：回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法，在生产和科学实验中，某一客观现象的统一体中，其变量往往客观上存在一定的关系，为了了解事物的本质，往往需要找出描述这些变量之间依存关系的数学表达式，这就是需要采用回归分析进行处理。 例如：煤的灰分与密度之间就存在着某种不确定的关系，其关系近似成正比关系，根据实验数据可采用回归分析求出其关系表达式。 变量之间关系可以分成二类：①完全确定关系，例如欧姆定律；②另一类为不确定关系；如上例，选矿生产过程中就存在着大量的这种不确定关系，变量之间这种不确定关系称为相关关系，这种关系可利用数理统计方法找到。 二、回归分析主要解决以下三方面问题 （1）根据试验数据，研究变量之间的相关关系，找出定量的关系式和其中的参数。 （2）由于关系或是一种相关关系，所以需要进一步找出它的可信程度，为此，要进行统计检验。 （3）如果关系式中有许多自变量，则判断这些自变量的显著性，并剔除影响不显著的自变量。 §2-2 可疑数据的处理 在进行回归运行之前应根据误差理论对观测数据进行处理，因为在一组试验数据中，如果混杂异常数据，就会歪曲整个试验结果，影响所建立的模型，所以必须运用正确的方法舍弃其中异常的数据。 常用的判别方法有拉依达准则（3σ准则）和肖维勒准则。 （1）3σ准则： 其准则认为：某一观测值的剩余误差绝对值大于3σ时，该数据就应被舍弃。 a) σ为观测数据的标准差，即 其中 式中： ——观测值； ——为的平均值。 n——观测次数； f——自由度。 当Ｎ≤(20～30) 时，f=n-1； 当N≥30时 ,f=n-1≈n, 观测值 与 之差称为离差，以g表示， 即： 3σ准则判据为： 时，即认为该数据可疑，应剔除。 b)当剔除某一观测数据后，对余下的n-1个数据重新计算σ及 ，然后重复按上述方法检验，直到所有观测数据的离差 均满足要求为止。 c)注意条件： 3σ准则是建立在n→∞的前提下，当n有限或较小时，3σ准则不十分可靠，这时应采用肖维涅准则。 （2）肖维涅准则 a)肖维涅准则是按下式进行判断的： 当 时，认为该数据可疑。 式中K为与观测次数n有关的参数。 并且，K值随着n的增大而增大。 b)当剔除掉某一数据以后，把剩下的观测数据重新计算和检验，直至所有观测值离差的绝对值小于Kσ为止。 c)注意条件 当n10时，使用该准则较勉强； 当n≈185时，肖维涅准则与3σ准则相当； 当n185时，肖维涅准则较3σ准则窄 当n185时，肖维涅准则较3σ准则宽。 §2-3 模型形式的确定 1．从建模和求解方便来看，总希望模型的形式简单一点，所含的变量和参数不要太多；但从模型的使用角度看，则要计算结果准确，反映真实，所以从这一点看又得要把模型选配的复杂些。 2．常用的模型形式有一元线性模型。一元非线性模型，多元线性模型，多元非线性模型及多项式模型。 3．利用回归分析所建立的数学模型主要是线性回归模型，及多项式回归模型，以及一些可以通过初等变换转化为线性的一元非线性回归模型。下面我们先介绍一元线性回归模型。 §2-4 一元线性回归模型 一元线性回归分析是最简单的一种回归分析、它所研究的对象是二个变量之间的相关关系。 设有N对实验数据 ，其中x为确定性变量，y为服从正态分布的随机变量，如果它们之间存在线性关系，则可以用一个线性方程表示。 式中： 为回归方程计算值，a，b为待定系数（模型参数） 一、参数a，b的最小二乘法估计 1．统计分析： 对于上述的一组试验数据(xi，yi)，i=1, 2, …, n。由数理统计知识得： 离差= 剩余偏差（残差）= 回归差= 其中： —试验值； —计算值； —平均值。 同时可知： 离差平方和 剩余平方和 回归平方和 由散点图可知： 0 × ×