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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架 1 第3章 曲线坐标张量分析 连续介质逐空间点处的质量密度,电荷密度, 温度等,或速度,加速度,电场强度,磁场强 度等,构成了以空间点的坐标xi或位置矢量r为自变量的标量值或矢量值函数. 这类以x或i r为自变量的函数,在物理上常常称作为场(field). 类似地,可以定义更高阶的张量场,如二 阶的应力场和应变场,四阶的弹性张量场等等. 张量分析研究张量场的微分,导数,积分等 规律. 例如,描述电磁场运动规律的Maxwell方程组为 ∇· D = 4πϑ （库仑定律） 4π ∇× H = J （安培定律） c 1 ∂B ∇× E = − (法拉第定律） c ∂t ∇× B = 0 其中D和E分别为电位移和电场强度矢量场,B和H分别为磁感应和磁场强度矢量场,ϑ是电 荷密度, c是光速,J是电流矢量场.上面的Hamilton导数算子∇,在笛卡儿坐标系{x,y,z}及 相应的坐标单位方向{i, j , k}下有 ∂ ∂ ∂ ∇= i + j + k ∂x ∂y ∂z 又如,描述线性弹性变形运动规律的基本方程组为 2 σ· ∇+ ρf = ρ∂ u （动量平衡律） ∂t2 1 ε= 2 (∇u + u∇) （几何方程） ∇× ε× ∇= 0 （相容方程） σ= C : ε （Hooke定律） 其中σ和ε分别是应力张量和应变张量场, u是位移场, f是体力密度, ρ是质量密度, C是弹性 张量场.可见,在物理和力学的基本方程中,常常出现标量矢量和张量的梯度（如∇u ）,散 度（如∇· D,σ· ∇）,旋度（如∇× H, ∇× E, ∇× B, ∇× ε× ∇）等不变性导数运算. 本章介绍张量场的微积分基础性基础内容. 3.1曲线坐标系和自然局部标架 3.1.1曲线坐标系 在三维欧氏空间任取一点O作为原点,引进笛卡儿坐标系{x,y,z},则空间任意点P相对O的 位置矢量r可由坐标(x,y,z)唯一表示,见3.1. 另一方面,数学物理和力学问题中经常出现曲 线坐标系,如圆柱坐标系,球坐标系等.此时空间任意点P由三个独立参数xi(i= 1, 2, 3)确 定.称{xi 1 2 3 }为一个曲线坐标系,是指(x,y,z)可与(x ,x ,x )构成一一对应,且函数组: 2 3 x g3 g2 2