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方程与 相减后所得的直线方程的几何意义 在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙和⊙：的方程相减所得到的直线l：表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5种位置关系进行研究。 一．两圆相交 设、是两圆的交点，则有和成立，即、满足方程 即。所以直线l表示两圆相交弦所在直线。 二．两圆相切（内切或外切） 当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：表示两内切圆的公切线。例如，圆：与圆：相切于原点，那么两圆相减得：，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。 设圆，圆的半径分别为，则，。由两圆外切得： ，化简得： 即：又，，即：，。利用直线Ax+By+C=0分线段的比为 ，那么直线l分的比为 = =。又，所以⊥l（当直线与直线l的斜率不存在时也成立）；且，所以点到直线l的距离为，点到直线l的距离为。所以直线l与两圆相切。 三．两圆相离 这里首先得了解式子的含义。因为圆的方程有两种表示，即 。当点P（x，y）在圆外时，式子 表示点P到圆的切线长。因而，对直线方程可以变形为：，即点P到两圆的切线长相等。因此，直线l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线l就是两圆的对称轴。 四．两圆内含 同“三”易知，直线l上的点到两圆的切线长相等。 （注：以上两圆非同心圆） 五．范例 例：已知圆与圆：外切于点O，且两圆的过点O的公切线为，已知圆的圆心落在直线上，求圆的方程。 解：易得。设圆：，即：，圆心坐标落在直线，解得。所以圆的方程为。 最后，利用《几何画版》动画演示圆，圆，直线l的位置关系。