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关于Hardy-Hilbert不等式的一种推广 张焕萍 （绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴312000） 摘 要：利用改进的Euler-Maclaurin求和公式 和Holder不等式，引入参数，对Hardy-Hilbert型不等式作了推广，由此建立了一个新的Hardy-Hilbert型不等式?. 关键词：Euler-Maclaurin求和公式；Hardy-Hilbert型不等式；权函数；Holder不等式. 0 引言 设，满足及，则有著名的Hardy-Hilbert型不等式： , （1） 这里，常数因子是最佳值[1].这类型的不等式在分析学有重要的应用[2]. 最近，[3]引入参数，得到不等式(1)的如下推广： （2） 这里，常数因子是最佳值. 当=1时，不等式(2)式成为不等式(1). 文献[4,5,6]还通过引入参数，建立了一些较为精密的Mulholland不等式. 特别杨必成在文[3]中引入参数，给出的不等式为： ，（3） 这里，常数因子是最佳值，其等价形式是 . （4） ____________________________ 作者简介：张焕萍（1986-），女，绍兴诸暨人，2007届本科毕业生 最近文[8]给出了新的不等式 （5） 其中 =， 这里，常数因子为最佳值，且当时有 [] （6） 这里，常数因子为最佳值，其等价形式是 ， （7） 这里，常数因子为最佳值?. 本文利用了改进的Euler-Maclaurin求和公式，优化权函数的方法，通过引入参数，对不等式（3）和（5）进行了改进，而建立了如下的不等式： 定理. 设.，满足及， 则有 ， （8） 其中 =,?. 特别的，当时,有 ?. （9） 又当时，则有 ， （10） 其中 ，， 1 一些引理 为证明定理，先给出几个引理： 引理1 等式成立，其中 =?. （11） 证明： ， ， 所以， 上式 = = = =?. 引理2 [6]（Euler-maclaurin求和公式） 设，若，（r=0,1,2,3,4,5）,,则有 （12） 引理3. 及 (，则具备(12)式的条件. 证明：显然及 = = 当时，，所以在（0，1）上单调递增，而所以?. 当时，，所以在上单调递减，而所以?. 从而，所以，这样可以得到在单调递减且，从而?.同理在单调递增且，这样就有，同理在单调递减且，所以，同理可得在上单调递增，且，可得，所以在上单调递减且，这样可得，故可知，,从而可知，,及(i=0,1,2,3,4)，所以满足（12）式的条件?. 又= =， (13) 又因为，所以 = = = ， (14) ， ， = (15) 引理4 对于,,，定义权函数为为 (16) 则 (17) 证明：对于有 ， ?. 因为由(12)式，有 .作变换，由( 11)式有 = == ， 其中 = 从而由（13）及（14）式有（17）式成立?. 2 定理证明 由带权的Holder的不等式和（16）[见[10][11]]有 1) = = = = = (18)特别,当时有 ?. (19) 2)对 = = (20) 其中，， . 参考文献 1 Hardy G.H.Littlewood J.E.Polya G..Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1952. 2 Mintrinovic D.S. Pecaric J.E. FINK A.M. Inequalities involving functions and their integrals and derivertives[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991. 3 杨必成.一个较为精密的Hardy-Hilbert型不等式及其应用[J].数