Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解.docVIP

１、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 （参考书籍《精 通ＭＡＬＡＢ科学计算》 ，王正林等著，电子工业出版社，２００９ 年） “Gauss-Seidel 迭代法线性方程组求解” （1）迭代解法的基本思想： 根据给定方程组，设计出一个迭代公式，构造一数组的序列xi0,代入迭代公式，计算出xi1,在代入迭代公式，经过k次迭代运算后得到xik,若xik收敛于某一极限数组xi，则xi就是方程组的近似解。 迭代过程本质上就是计算极限的过程，一般不能得到精确解。但迭代的优点是程序简单，适合大型方程组求解，然而，缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 (2)算法说明： Gauss-Seidel迭代法与简单迭代法类似，只是迭代公式有所改进。 简单迭代法：； Gauss-Seidel迭代法：； 设方程组Ax＝b，其中A和b中的元素都为常数，且A为非奇异，则A分可写成：A=D-L-U。 其中D上网意义同Jacobi迭代法，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，他的迭代公式为： 在MATLAB中编程实现的Gauss-Seidel迭代法函数为：gauseidel。 功能：用Gauss-Seidel迭代求线性方程组ax=b的解。 调用格式：[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M). 其中，A为线性方程组的系数矩阵； b为线性方程组中的常数向量； x0为迭代初始向量； eps为解的精度控制（此参数可选）； M为迭代步数控制（此参数可选）； x为线性方程组的解； n为求出所需精度的解实际迭代步数。 (3)Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序代码如下: function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) %采用Gauss-Seidel迭代法求线性方程组Ax=b的解 %线性方程组的系数矩阵：A %线性方程组的常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：M %线性方程组的解：x %求出所需精度的解实际的迭代步数：n if nargin ==3 eps=1.0e-6; %eps表示迭代精度 M=200; %M表示迭代步数的限制值 elseif nargin ==4 M=200; elseif nargin 3 error return; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f; n=1; %迭代过程 while norm(x-x0)eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; %n为最终求出解时的迭代步数 if n=M disp(Warning:迭代次数太多，可能不收敛！); end end (4)进行实例分析： A=[1.4449 0.7948 0.8801;0.6946 1.9568 0.1730;0.6213 0.5226 1.9797]; b=[1 0 1]; x0=zeros(3,1); [x,n]=gauseidel(A,b,x0) x = %输出结果 0.5929 -0.2444 0.3836 n = 11 %输出迭代次数n (5)运行图以即流程图： ①运行图： ②流程图： ②例题流程图： 一、分析电路：（RC充电电路） 当t0时，开关K位于“1”，电路以达到平衡Uc（0+）=Uc（0-）=-12V， iR2（0-）=3A； 当t0时，ic（0+）=-Uc（0+）/(R2*R3/（R2+R3）)，达到稳态后，电容中将无电流icf=0A，电流源的全部电流将在两个电阻之间分配，保证端电压相同(也就是电容上的终电压)。即：UR3= Ucf=12V。 由一阶响应电路可用三要素法得到电压公式：，时间常数。 ，且Req=12*6/18=4，=4(s)。同时，以相同的方法得到电流公式：，=4(s)。 可以得到电阻R2的表达式：。 二、源程序设计： r1=3; r2=12; r3=6; us=18; is=3; c=1; uc0=-12; %电容C的初始电压值 ucf=12; %电容C的最终稳态电压值 icf=0; %电容C的最终稳态电电流值 T=r2*r3/(r2+r3); %电路时间常数 t=[0:0.0