2018届高中数学必修(人教版)导数工具判断函数的单调性 人教版课件.ppt

“ ” “ ” 导数的应用—函数的单调性 教学目的： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义 2 、某点处导数的几何意义 3 、导函数的定义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f? (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率. 知识回顾 4 、求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤： 2.算比值： 3.取极限： 1.求增量： 5、四个常见函数的导数公式 公式1 （C 为常数） 公式2 公式3 公式4 6、导数的四则运算法则 7、复合函数的导数 8、对数函数的导数 （1） （2） 9、指数函数的导数 引例 已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区 间(0,2)上是单调递增的. （1）任取x1x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论 用定义法判断函数单调性的步骤： 新课讲授 引入 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到： 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： ? y=f(x) =x2－4x+3 切线的 斜率 f′(x) (2，+∞) (－∞,2) 增函数 减函数 正 负 ＞0 ＜0 在区间（2， ）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即 0时，函数y=f(x) 在区间（ ，2）内为减函数. 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′ 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′ 0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法 结论： y ′ 0 增函数 y ′ 0 减函数 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f ′(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f ′(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 注：单调区间不以“并集”出现。 2、导数的应用：判断单调性、求单调区间 例1 确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时， f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数 例题讲解 例2 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0， f(x)是增函数. 当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0， f(x)是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2. ∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数. 例3 证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2. f(x1)－f(x2)= ∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴ ＞0 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性. 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－ ，x＞0， ∴x2＞0，∴