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§2换元积分法与分部积分法
第八章 不定积分 §2 换元积分法与分部积分法 《数学分析》电子教案 §2 换元积分法与分部积分法 【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法. 【教学重点】换元积分法和分步积分法. 【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法. 一、 换元积分法. 定理8.4(换元积分法) 设g(u)在[α,β]上有意义,u=ϕ(x)在[a,b]上有导，且 f(x)= g ϕ(x) ϕ(x) α ≤ϕ(x)≤ β,x∈[a,b],并记 ( ) x∈[a,b] g(u) G(u) f(x) [a,b] F(x) (i)若 在[α,β]上存在原函数 ,则 在 上也存在原函数 ： F(x)= G(ϕ(x))+c f(x)dx= g ϕ(x)ϕ(x)dx= g(u)du= G(u)+c= G ϕ(x) +c 即： ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ϕ(x)≠ 0,x∈[a,b] f [a,b] F(x) （ii）又若 ，则上述命题可逆，即当 在 存在原函数 −1 G(u)= F ϕ (u) +c 时，g(u)在[a,b]上也有原函数G(u)，且 ( ) −1 g(u)du= g ϕ(x)ϕ(x)dx= f(x)dx= F(x)+c= F(ϕ (u))+c 即：∫ ∫ ( ) ∫ 证：(i) 用复合函数求导的链式法则知 d G ϕ(x) = G ϕ(x) ϕ(x) ( ) ( ) = g ϕ(x) ϕ(x)= f(x) dx ( ) G ϕ(x) f ( ) 故 的一个原函数是 ，故（i）成立 dx 1 = −1 du ϕ(x) −1 （ii）若ϕ(x)≠ 0则u=ϕ(x)存在反函数x=ϕ (u)且 x=ϕ (u) d −1 1 1 F ϕ (u) = F(x)⋅ = f(x)⋅ ( ) ∴ du ϕ(x) ϕ(x) 1 = g ϕ(x) ϕ(x)⋅ ( ) ϕ(x) = g ϕ(x) = g(u) ( )
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