离散数学及其应用-傅彦-第13章 群.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定理13.6.1（续） 充分性： ?a*h∈aH，因a*h*a-1∈H，所以，存在h1∈H，使得 a*h*a-1 = h1，于是 a*h = h1*a， 从而aH? Ha。 又?h*a∈Ha，则 a-1*h*(a-1)-1 = a-1*h*a∈H， * 定理13.6.1（续） 所以，存在h2∈H，使得 a-1*h*a = h2，于是 h*a = a*h2， 从而Ha ? aH。故对 ?a∈G，都有aH = Ha。即H是G的正规子群。 推论13.6.1 交换群的任何子群是正规子群。 * 作业 P296： 31、35、36、39 36:8080/lssx/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例13.4.2（续） 则对m∈n，有 m = 1m = (at)m = atm(tn∈Z)， 故a是生成元。 因此a是生成元的充要条件是(a, n) = 1。 群n, + n的生成集为 M = {a | (a∈n)∧((n, a) = 1)}， 显然1∈M，所以1是n, +n的生成元，即对m∈n， m = 1m， 故n, +n是循环群。 * 结论 （1）群n, +n是一个循环群，其生成集为 M = {a| (a∈n)∧((n, a) = 1)}； （2）素数阶的循环群n, +n，除幺元以外的一切元素都是群n, +n的生成元。 * 两类循环群 G = g是循环群，根据生成元g的周期，可得两类循环群： （1）当g的周期无限时，g是无限阶循环群，则 g ={gk | k∈Z；若i≠j，则gi≠gj}； （2）当g的周期有限时，g是有限阶循环群，若g的周期为n，则有 g = {e, g, g2, g3,…, gn-1}。 * 定理13.4.3 设G, *是以g为生成元的循环群，则 （1）若G是无限集，则G与整数加法群Z, +同构； （2）若|G| = n，则G与n阶剩余类加群n, +n同构。 证明 略。 * 结论 （1）无限循环群有且仅有两个生成元； （2）阶为素数的循环群除幺元以外的一切元素都是G的生成元； （3）阶为正整数n的循环群G = a，对y = ax∈G，只要(n, x) = 1，则y一定是G的生成元； * 结论（续） （4）循环群的子群一定是循环群； （5）若G = a是一个n阶的循环群，则由n的一切因子d都可对应产生一个且仅一个d阶子群，该d阶循环子群的生成元为ax，其中x = n/d； （6）阶为素数p的循环群G = a不含有非平凡的真子群。 * 定理13.4.4 设a∈G是群G, *中的任意元素，令 S = {an | n∈Z，Z是整数}， 证明S, *是G, *的循环子群。 证明 略。 定理13.4.4说明，群中每个元素的整数方幂集合是该群的循环子群。 * 例13.4.4 证明群Zn, +是循环群。 证明 [1]∈Zn，对?[i] ∈Zn，有 [i] = [1 + 1 + … + 1] = [1] + [1] + … + [1] = [1]i， 因此[1]是生成元，所以Zn, + 是循环群。 说明 Zn, + 是n阶循环群，它与n, +n同构。本质上，n, + n是Zn, +的一个简化。 * 13.5 陪集与拉格朗日定理 13.5.1 陪集 定义13.5.1 设G, *是群，H, *是G, *的任意子群，对a, b∈G，如果有a*b-1∈H，则称a, b为模H同余关系，此时记为a≡b(modH)。 * 定理13.5.1 设H, *是G, *的任一个子群，证明模H同余关系是G上的等价关系。 证明 （1）自反性：对a∈G，有a-1∈G，所以 a*a-1 = e∈H， 即 a≡a(modH)， 所以模H同余关系是自反关系。 * 定理13.5.1（续） （2）对称性：a，b∈G，如有a≡b(modH)，即 a*b-1∈H， 因H是一个群，所以有 b*a-1 = (b-1)-1*a?1 = (a*b?1)-1∈H，即 b≡a(modH)， 所以模H同余关系是对称关系。 * 定理13.5.1（续） （3）传递性：a, b, c∈G，如有a≡b(modH)，b≡c(modH)，则 a*b-1∈H，b*c-1∈H， 因H是一个群，所以有 a*c-1